Czy poniższe równanie ma rozwiązania gdy n oraz k są liczbami naturalnymi?
\(\displaystyle{ n^{3}=2^{k} \cdot 7+1}\)
Równanie wykładnicze
-
- Użytkownik
- Posty: 52
- Rejestracja: 17 mar 2009, o 21:22
- Płeć: Mężczyzna
- Podziękował: 4 razy
- Pomógł: 8 razy
-
- Użytkownik
- Posty: 465
- Rejestracja: 10 cze 2008, o 19:38
- Płeć: Mężczyzna
- Lokalizacja: Wrocław
- Podziękował: 12 razy
- Pomógł: 1 raz
Równanie wykładnicze
K oraz n mogą być liczbami naturalnymi, ale bez zera. Zresztą mnie też wydaje się, że to równanie chyba nie ma rozwiązań, ale nie jestem pewny.cienkibolek pisze:n=2
k=0
chyba jedyne rozwiązanie
Na pewno trzeba rozwiązać następujące przypadki:
1. \(\displaystyle{ 49p^{3}+21p^{2}+3p=2^{k}}\)
2. \(\displaystyle{ 49p^{3}+42p^{2}+12p+1=2^{k}}\)
3. \(\displaystyle{ 49p^{3}+84p^{2}+48p+9=2^{k}}\)
ponieważ wyrażenie:
\(\displaystyle{ \frac {n^{3}-1}{7}}\)
przyjmuje tylko takie rozwiązania naturalne. p może być dowolną liczbą naturalną oraz zerem, natomiast k to dowolna liczba naturalna bez zera. Wiem, że równanie z punktu pierwszego nie może być spełnione dla żadnego p i k. Pozostają rówania 2 i 3.
- max
- Użytkownik
- Posty: 3306
- Rejestracja: 10 gru 2005, o 17:48
- Płeć: Mężczyzna
- Lokalizacja: Lebendigentanz
- Podziękował: 37 razy
- Pomógł: 778 razy
Równanie wykładnicze
Prosty argument:
\(\displaystyle{ (n-1)(n^{2} + n + 1) = 7\cdot 2^{k}}\)
liczba \(\displaystyle{ n^{2} + n + 1}\) jest nieparzysta i większa od \(\displaystyle{ 1}\), zatem \(\displaystyle{ n^{2} + n + 1 = 7, \ n - 1 = 2^{k},}\) co daje \(\displaystyle{ n = 2, k = 0.}\)
\(\displaystyle{ (n-1)(n^{2} + n + 1) = 7\cdot 2^{k}}\)
liczba \(\displaystyle{ n^{2} + n + 1}\) jest nieparzysta i większa od \(\displaystyle{ 1}\), zatem \(\displaystyle{ n^{2} + n + 1 = 7, \ n - 1 = 2^{k},}\) co daje \(\displaystyle{ n = 2, k = 0.}\)