Równanie wykładnicze

[matemix]

Czy poniższe równanie ma rozwiązania gdy n oraz k są liczbami naturalnymi?

\(\displaystyle{ n^{3}=2^{k} \cdot 7+1}\)

[cienkibolek]

n=2
k=0

chyba jedyne rozwiązanie

[matemix]

n=2
k=0

chyba jedyne rozwiązanie

K oraz n mogą być liczbami naturalnymi, ale bez zera. Zresztą mnie też wydaje się, że to równanie chyba nie ma rozwiązań, ale nie jestem pewny.

Na pewno trzeba rozwiązać następujące przypadki:

1. \(\displaystyle{ 49p^{3}+21p^{2}+3p=2^{k}}\)

2. \(\displaystyle{ 49p^{3}+42p^{2}+12p+1=2^{k}}\)

3. \(\displaystyle{ 49p^{3}+84p^{2}+48p+9=2^{k}}\)

ponieważ wyrażenie:

\(\displaystyle{ \frac {n^{3}-1}{7}}\)

przyjmuje tylko takie rozwiązania naturalne. p może być dowolną liczbą naturalną oraz zerem, natomiast k to dowolna liczba naturalna bez zera. Wiem, że równanie z punktu pierwszego nie może być spełnione dla żadnego p i k. Pozostają rówania 2 i 3.

[max]

Prosty argument:
\(\displaystyle{ (n-1)(n^{2} + n + 1) = 7\cdot 2^{k}}\)
liczba \(\displaystyle{ n^{2} + n + 1}\) jest nieparzysta i większa od \(\displaystyle{ 1}\), zatem \(\displaystyle{ n^{2} + n + 1 = 7, \ n - 1 = 2^{k},}\) co daje \(\displaystyle{ n = 2, k = 0.}\)

[matemix]

Racja.