Zwracam się do uczestników forum, by zechcieli zapoznać się z pracą matematyczną dotyczącą potęgi liczb ujemnych, umieszczoną na stronie:
a następnie o ewentualne wypowiedzenie się w dyskusji, na umieszczony w tym topiku temat.
Potęga realna - krytyka klasycznej potęgi liczb ujemnych.
-
wb
- Użytkownik
- Posty: 3507
- Rejestracja: 20 sie 2006, o 12:58
- Płeć: Mężczyzna
- Lokalizacja: Brodnica
- Podziękował: 12 razy
- Pomógł: 1260 razy
Potęga realna - krytyka klasycznej potęgi liczb ujemnych.
Przeczytalem pierwszą sprzeczność. Podręcznikowo potęgi o wykładniku wymiernym definiuje się tylko dla liczb nieujemnych. Wtedy tych sprzeczności unikamy. Pozostałe sprzeczności muszę odłożyć na długie zimowe wieczory; wtedy może więcej o nich.
-
szlongin
- Użytkownik
- Posty: 12
- Rejestracja: 15 wrz 2006, o 19:53
- Płeć: Mężczyzna
- Lokalizacja: Lidzbark Warminski
Potęga realna - krytyka klasycznej potęgi liczb ujemnych.
Określenie potęgi wymiernej liczby "a", tylko dla "a" większego od zera, jest może i zręcznym unikiem w matematyce, pozwalającym uniknąć kłopotliwej sprzeczności, ale tylko unikiem.
Odsuwa problem potęgi wymiernej liczby "a" mniejszej od zera ale go nie rozwiązuje i w tym jest szkopuł.
Odsuwa problem potęgi wymiernej liczby "a" mniejszej od zera ale go nie rozwiązuje i w tym jest szkopuł.
-
Calasilyar
- Użytkownik
- Posty: 2656
- Rejestracja: 2 maja 2006, o 21:42
- Płeć: Mężczyzna
- Lokalizacja: Wrocław/Sieradz
- Podziękował: 29 razy
- Pomógł: 410 razy
Potęga realna - krytyka klasycznej potęgi liczb ujemnych.
w pierwszej chodzi o to, że liczba \(\displaystyle{ a^{4}}\) to nie jest w zasadzie a do czwartej tylko \(\displaystyle{ (|a|)^{4}}\) i dlatego jest ta... ekhm.. "sprzecznosc" na tym samym opiera się równieź druga "sprzecznosc".wb pisze:Podręcznikowo potęgi o wykładniku wymiernym definiuje się tylko dla liczb nieujemnych.
[ Dodano: 9 Październik 2006, 22:08 ]
dla mnie tam wszystko rozwiązuje obecna definicjaszlongin pisze:Odsuwa problem potęgi wymiernej liczby "a" mniejszej od zera ale go nie rozwiązuje i w tym jest szkopuł.
-
Rogal
- Użytkownik
- Posty: 5405
- Rejestracja: 11 sty 2005, o 22:21
- Płeć: Mężczyzna
- Lokalizacja: a z Limanowej
- Podziękował: 1 raz
- Pomógł: 422 razy
Potęga realna - krytyka klasycznej potęgi liczb ujemnych.
Cóż, po kilku latach zabawy z pierwiastkami mogę się wypowiedź raczej w tym temacie.
Otóż, jeśli chodzi o sprzeczność pierwszą, mylone jest tutaj pojęcie pierwiastka arytmetycznego (funkcji), z pierwiastkiem jako takim.
Otóż w podanym przykładzie mamy na końcu \(\displaystyle{ \sqrt{64}}\) i wynik podany 8. Pierwiastka arytmetycznego tak, natomiast pierwiastkując w ogólności musimy czynić pewne założenia i niejako 'wiedzieć, co pierwiastkowaliśmy'. Dlatego też przyjęto, że potęgę o wykładniku wymiernym zapisuje się zawsze w postaci ułamka nieskracalnego, by nie tworzyć sobie dodatkowych problemów.
Najbardziej znamiennym przykładem są wzory na pierwiastki równania kwadratowego. Czemu mamy jeden pierwiastek z minusem przed deltą, a drugi z plusem? Prosta sprawa - bo pierwiastek daje niejako dwa wyniki i musimy zadbać o to, by one się pojawiły.
Dlatego też pańskie wzory stoją w sprzeczności z analizą funkcji kwadratowej, która wedle pana wzorów miałaby jedno miejsce zerowe dodatnie, gdy delta dodatnia, a gdy ujemna, to miałaby jedno miejsce zerowe ujemne, co jak wiemy jest wierutną bzdurą, a do rysowania funkcji kwadratowych nie korzystamy z założeń 'potęgi klasycznej', także nie doszukamy się nigdzie wcześniej 'sprzeczności' do usunięcia (nie wspomnę już o rozwiązaniach równania sześciennego w ogólności, gdzie liczby właśnie zespolone, czyli pierwiastki parzystego stopnia z liczb ujemnych są koniecznością).
W sprzeczności drugiej znowuż brak rzetelnych definicji. \(\displaystyle{ \sqrt{a^{2}} = |a|}\), natomiast \(\displaystyle{ \sqrt{a}^{2} = a}\).
Sprzeczność trzeci kipi sprzecznością ; )
Zdanie "Jeżeli wyrazami szeregu będą liczby ujemne to również musimy uzyskać równość" jest oczywistym nadużyciem, gdyż dowodząc równości owego szeregu korzystamy z indukcji, która dotyczy liczb NATURALNYCH.
Jeśli natomiast chodzi o jego wyprowadzenie, to korzystamy tam z takiego wzorku z symbolem Newtona, a pragnę przypomnieć, że liczb ujemnych symbol ów nie przewiduje, sądzę, że również pańska teoria nie przewiduje silni liczb ujemnych całkowitych.
Dowód pierwszy jest błędy już od samego początku, gdy zakładamy przyprostokątne ujemne. Jest to podważenie fundamentów geometrii, która mówi o bokach zawsze dodatnich, o niczym innym, więc nie należy jej wdrażać czegoś wbrew niej.
Natomiast już dalsze 'sprzeczności' i 'dowody' są błędne przez fakt, że założenia są błędne, co mam nadzieję jasno wykazałem wyżej.
Zaś końcowe zabawy z jedynką trygonometryczną, to naciąganie błędnej teorii do praktyki.
Otóż, jeśli chodzi o sprzeczność pierwszą, mylone jest tutaj pojęcie pierwiastka arytmetycznego (funkcji), z pierwiastkiem jako takim.
Otóż w podanym przykładzie mamy na końcu \(\displaystyle{ \sqrt{64}}\) i wynik podany 8. Pierwiastka arytmetycznego tak, natomiast pierwiastkując w ogólności musimy czynić pewne założenia i niejako 'wiedzieć, co pierwiastkowaliśmy'. Dlatego też przyjęto, że potęgę o wykładniku wymiernym zapisuje się zawsze w postaci ułamka nieskracalnego, by nie tworzyć sobie dodatkowych problemów.
Najbardziej znamiennym przykładem są wzory na pierwiastki równania kwadratowego. Czemu mamy jeden pierwiastek z minusem przed deltą, a drugi z plusem? Prosta sprawa - bo pierwiastek daje niejako dwa wyniki i musimy zadbać o to, by one się pojawiły.
Dlatego też pańskie wzory stoją w sprzeczności z analizą funkcji kwadratowej, która wedle pana wzorów miałaby jedno miejsce zerowe dodatnie, gdy delta dodatnia, a gdy ujemna, to miałaby jedno miejsce zerowe ujemne, co jak wiemy jest wierutną bzdurą, a do rysowania funkcji kwadratowych nie korzystamy z założeń 'potęgi klasycznej', także nie doszukamy się nigdzie wcześniej 'sprzeczności' do usunięcia (nie wspomnę już o rozwiązaniach równania sześciennego w ogólności, gdzie liczby właśnie zespolone, czyli pierwiastki parzystego stopnia z liczb ujemnych są koniecznością).
W sprzeczności drugiej znowuż brak rzetelnych definicji. \(\displaystyle{ \sqrt{a^{2}} = |a|}\), natomiast \(\displaystyle{ \sqrt{a}^{2} = a}\).
Sprzeczność trzeci kipi sprzecznością ; )
Zdanie "Jeżeli wyrazami szeregu będą liczby ujemne to również musimy uzyskać równość" jest oczywistym nadużyciem, gdyż dowodząc równości owego szeregu korzystamy z indukcji, która dotyczy liczb NATURALNYCH.
Jeśli natomiast chodzi o jego wyprowadzenie, to korzystamy tam z takiego wzorku z symbolem Newtona, a pragnę przypomnieć, że liczb ujemnych symbol ów nie przewiduje, sądzę, że również pańska teoria nie przewiduje silni liczb ujemnych całkowitych.
Dowód pierwszy jest błędy już od samego początku, gdy zakładamy przyprostokątne ujemne. Jest to podważenie fundamentów geometrii, która mówi o bokach zawsze dodatnich, o niczym innym, więc nie należy jej wdrażać czegoś wbrew niej.
Natomiast już dalsze 'sprzeczności' i 'dowody' są błędne przez fakt, że założenia są błędne, co mam nadzieję jasno wykazałem wyżej.
Zaś końcowe zabawy z jedynką trygonometryczną, to naciąganie błędnej teorii do praktyki.
-
szlongin
- Użytkownik
- Posty: 12
- Rejestracja: 15 wrz 2006, o 19:53
- Płeć: Mężczyzna
- Lokalizacja: Lidzbark Warminski
Potęga realna - krytyka klasycznej potęgi liczb ujemnych.
W nawiązaniu do postu Rogala.
Jeśli jest napisane \(\displaystyle{ \sqrt{(-2)^{6}}=\sqrt{64}=8}\) to chodzi o pierwiastek arytmetyczny.
Co do potęgi wymiernej.
Zapis ułamkowego wykładnika w formie skróconej jest zalecane ale nie konieczne, jest tak dla naszej wygody. Każdy użytkownik komputera może kliknąć na kalkulator by się przekonać, że \(\displaystyle{ \sqrt{4}=4^{\frac{1}{2}}=4^{\frac{5}{10}}=4^{0,5}=2}\), czyli akurat odwrotnie niż to jest insenuowane, więc nie siejmy demagogii.
W kwestii potęgi wymiernej wb napisał:" Podręcznikowo potęgi o wykładniku wymiernym definiuje się tylko dla liczb nieujemnych". I ma całkowitą rację gdyż pozwala to uciec przed pojawiającymi się w innym przypadku sprzecznościami, z którymi potęga klasyczna nie daje sobie rady a świetnie sobie radzi potęga realna.
Jak trafnie to ujoł Calasilyar pisząc:"w pierwszej (sprzeczności) chodzi o to, że liczba
\(\displaystyle{ a^{4}}\) to nie jest a do czwartej tylko \(\displaystyle{ (|a|)^{4}}\) i dlatego jest ta... "sprzeczność" ". Nie jest to więc potęga liczby ujemnej lecz potęga jej wartości bezwzględnej.
Jeżeli chodzi o wzory równania kwadratowego to przykro mi, ale nie jest tu rozróżniana potęga od n-krotnych iloczynów liczby ujemnej, na które to rozróżnienie wielokrotnie zwracałem uwagę. Sprzeczności nie ma bo chodzi o dwa niezależne pojęcia, może tylko z tą uwagą, że klasyczna funkcja kwadratowa powinna nazywać się "funkcją dwukrotnego iloczynu", w której dwukrotny iloczyn liczby ujemnej możemy zapisać co najwyżej jako:
\(\displaystyle{ (-x)(-x)=|-x|^{2}=x*x=x^{2}}\) gdzie x jest większy od 0.
Jest to zatem kwadrat liczby nieujemnej. W funkcji, wstawiając do rzekomego kwadratu liczbę ujemną mamy taki sam skutek jak byśmy wstawili wartość bezwzględną liczby (-x), choć tego wizualnie nie widać.
Czym innym jest więc n-krotny parzysty iloczyn liczby ujemnej a czym innym jej potęga.
Oba pojęcia wspólistnieją, trzeba je tylko rozpoznać.
Czytając uważniej można było zauważyć zapis, że dwukrotny iloczyn liczby ujemnej, czyli rzekomy kwadrat klasyczny, ma wprawdzie wykładnik 2 ale jest to wykładnik informujący z ilu czynników składa się ilocyn, nie zaś wykładnik potęgowy.
Klasyczna definicja potęgi, w zakresie liczb ujemnych, definiuje n-krotne ich iloczyny a niefortunnie nazywa je potęgą. A skoro, jak ustalono, dwukrotny iloczyn liczby ujemnej jest kwadratem liczby nieujemnej, to czy nie jest to frapujące pytanie: jak wobec tego wygląda kwadrat liczby ujemnej?
Aby wyjaśnić sprzeczność 3 nie trzeba odwoływać się do żadnych indukcji ani wzorków z symbolem Newtona. Trzeba w prosty sposób wymnożyć sumę szeregu ujemnego z sumą szeregu dodatniego co stanowi kwadrat realny szeregu ujemnego, równy sumie ujemnych sześcianów i cała w tym filozofia. Analogicznie postępując wyprowadzamy uogólniony wzór na sumę ujemnych sześcianów.
Do przeprowadzenia dowodu pierwszego: zbiór liczb ujemnych jest tak samo przydatny do rozwiązywania problemów, w tym i geometrycznych, jak zbiór liczb dodatnich.
Nie na darmo wymyślono układ wspólrzędnych prostokątnych, trzeba tylko z niego korzystać a można tam przedstawić ujemne odcinki i zbadać wzajemne relacje.
Pozostałe uwagi są bardzo ogólnikowe i z tego powodu trudno się do nich rzeczowo odnieść.
Jeśli jest napisane \(\displaystyle{ \sqrt{(-2)^{6}}=\sqrt{64}=8}\) to chodzi o pierwiastek arytmetyczny.
Co do potęgi wymiernej.
Zapis ułamkowego wykładnika w formie skróconej jest zalecane ale nie konieczne, jest tak dla naszej wygody. Każdy użytkownik komputera może kliknąć na kalkulator by się przekonać, że \(\displaystyle{ \sqrt{4}=4^{\frac{1}{2}}=4^{\frac{5}{10}}=4^{0,5}=2}\), czyli akurat odwrotnie niż to jest insenuowane, więc nie siejmy demagogii.
W kwestii potęgi wymiernej wb napisał:" Podręcznikowo potęgi o wykładniku wymiernym definiuje się tylko dla liczb nieujemnych". I ma całkowitą rację gdyż pozwala to uciec przed pojawiającymi się w innym przypadku sprzecznościami, z którymi potęga klasyczna nie daje sobie rady a świetnie sobie radzi potęga realna.
Jak trafnie to ujoł Calasilyar pisząc:"w pierwszej (sprzeczności) chodzi o to, że liczba
\(\displaystyle{ a^{4}}\) to nie jest a do czwartej tylko \(\displaystyle{ (|a|)^{4}}\) i dlatego jest ta... "sprzeczność" ". Nie jest to więc potęga liczby ujemnej lecz potęga jej wartości bezwzględnej.
Jeżeli chodzi o wzory równania kwadratowego to przykro mi, ale nie jest tu rozróżniana potęga od n-krotnych iloczynów liczby ujemnej, na które to rozróżnienie wielokrotnie zwracałem uwagę. Sprzeczności nie ma bo chodzi o dwa niezależne pojęcia, może tylko z tą uwagą, że klasyczna funkcja kwadratowa powinna nazywać się "funkcją dwukrotnego iloczynu", w której dwukrotny iloczyn liczby ujemnej możemy zapisać co najwyżej jako:
\(\displaystyle{ (-x)(-x)=|-x|^{2}=x*x=x^{2}}\) gdzie x jest większy od 0.
Jest to zatem kwadrat liczby nieujemnej. W funkcji, wstawiając do rzekomego kwadratu liczbę ujemną mamy taki sam skutek jak byśmy wstawili wartość bezwzględną liczby (-x), choć tego wizualnie nie widać.
Czym innym jest więc n-krotny parzysty iloczyn liczby ujemnej a czym innym jej potęga.
Oba pojęcia wspólistnieją, trzeba je tylko rozpoznać.
Czytając uważniej można było zauważyć zapis, że dwukrotny iloczyn liczby ujemnej, czyli rzekomy kwadrat klasyczny, ma wprawdzie wykładnik 2 ale jest to wykładnik informujący z ilu czynników składa się ilocyn, nie zaś wykładnik potęgowy.
Klasyczna definicja potęgi, w zakresie liczb ujemnych, definiuje n-krotne ich iloczyny a niefortunnie nazywa je potęgą. A skoro, jak ustalono, dwukrotny iloczyn liczby ujemnej jest kwadratem liczby nieujemnej, to czy nie jest to frapujące pytanie: jak wobec tego wygląda kwadrat liczby ujemnej?
Aby wyjaśnić sprzeczność 3 nie trzeba odwoływać się do żadnych indukcji ani wzorków z symbolem Newtona. Trzeba w prosty sposób wymnożyć sumę szeregu ujemnego z sumą szeregu dodatniego co stanowi kwadrat realny szeregu ujemnego, równy sumie ujemnych sześcianów i cała w tym filozofia. Analogicznie postępując wyprowadzamy uogólniony wzór na sumę ujemnych sześcianów.
Do przeprowadzenia dowodu pierwszego: zbiór liczb ujemnych jest tak samo przydatny do rozwiązywania problemów, w tym i geometrycznych, jak zbiór liczb dodatnich.
Nie na darmo wymyślono układ wspólrzędnych prostokątnych, trzeba tylko z niego korzystać a można tam przedstawić ujemne odcinki i zbadać wzajemne relacje.
Pozostałe uwagi są bardzo ogólnikowe i z tego powodu trudno się do nich rzeczowo odnieść.
-
Rogal
- Użytkownik
- Posty: 5405
- Rejestracja: 11 sty 2005, o 22:21
- Płeć: Mężczyzna
- Lokalizacja: a z Limanowej
- Podziękował: 1 raz
- Pomógł: 422 razy
Potęga realna - krytyka klasycznej potęgi liczb ujemnych.
Odniosę się do końca - geometria analityczna bynajmniej nie przewiduje odcinków ujemnych, tylko o ujemnych współrzędnych a to zdecydowana różnica, gdyż długość w metryce euklidesowskiej (jak i każdej bodajże innej) jest liczbą nieujemną z założenia, więc musiałby pan wpierw te założenia zmienić i podać własną definicję metryki.
Podobnie bardzo chciałbym zobaczyć wyprowadzenie wzoru na sumę sześcianów, ale od podstaw, bez znajomości 'tego dla dodatnich', by działał i dla jednych i dla drugich.
Również pragnę zauważyć, że kalkulator na komputerze nie jest dla mnie wyrocznią w sprawach matematyki, szczególnie pierwiastków i potęg - to jest kalkulator dla inżynierów, żeby szybko bez zastanawiania mieli wynik, a są tam przecież wprowadzane założenia, właśnie po to, by biedny inżynier nie musiał się zastanawiać, który wynik pierwiastka z czterech wziąć 2 czy -2.
Natomiast pragnę podkreślić, że jeśli liczba jest ujemna, to parzystego wykładnika potęgi nie można 'wciągać' pod pierwiastek, właśnie po to, by nie gubić znaku, natomiast jeśli jest nieparzysty, czyli interesuje nas \(\displaystyle{ (-2)^{\frac{6}{2}}}\) zamiast \(\displaystyle{ (-2)^{3}}\) jest tylko robieniem sobie niepotrzebnego kłopotu, bo musimy wtedy iść taką ścieżką: \(\displaystyle{ \sqrt{(-2)^{6}} = \sqrt{64} = 8 \cup -8}\) i teraz musimy sobie patrzyć cośmy podnosili do potęgi by wybrać dobrą wartość. Jest to niewątpliwe utrudniania sobie życia na darmo.
Natomiast jeśli chodzi o sam początek, to kwestia zapisu i symboli jest kwestią umowną i nie dla każdego taki zapis pierwiastka jest pierwiastkiem arytmetycznym.
Podobnie bardzo chciałbym zobaczyć wyprowadzenie wzoru na sumę sześcianów, ale od podstaw, bez znajomości 'tego dla dodatnich', by działał i dla jednych i dla drugich.
Również pragnę zauważyć, że kalkulator na komputerze nie jest dla mnie wyrocznią w sprawach matematyki, szczególnie pierwiastków i potęg - to jest kalkulator dla inżynierów, żeby szybko bez zastanawiania mieli wynik, a są tam przecież wprowadzane założenia, właśnie po to, by biedny inżynier nie musiał się zastanawiać, który wynik pierwiastka z czterech wziąć 2 czy -2.
Natomiast pragnę podkreślić, że jeśli liczba jest ujemna, to parzystego wykładnika potęgi nie można 'wciągać' pod pierwiastek, właśnie po to, by nie gubić znaku, natomiast jeśli jest nieparzysty, czyli interesuje nas \(\displaystyle{ (-2)^{\frac{6}{2}}}\) zamiast \(\displaystyle{ (-2)^{3}}\) jest tylko robieniem sobie niepotrzebnego kłopotu, bo musimy wtedy iść taką ścieżką: \(\displaystyle{ \sqrt{(-2)^{6}} = \sqrt{64} = 8 \cup -8}\) i teraz musimy sobie patrzyć cośmy podnosili do potęgi by wybrać dobrą wartość. Jest to niewątpliwe utrudniania sobie życia na darmo.
Natomiast jeśli chodzi o sam początek, to kwestia zapisu i symboli jest kwestią umowną i nie dla każdego taki zapis pierwiastka jest pierwiastkiem arytmetycznym.
-
szlongin
- Użytkownik
- Posty: 12
- Rejestracja: 15 wrz 2006, o 19:53
- Płeć: Mężczyzna
- Lokalizacja: Lidzbark Warminski
Potęga realna - krytyka klasycznej potęgi liczb ujemnych.
Ponieważ w dowodzie 1 przedstawiono relacje między ujemnymi odcinkami co zostało uznane za niedopuszczalne, zastanówmy się czy to jest rzeczywiście uzasadnione i zaimprowizujmy taką historyjkę.
Inwestor zaplanował wybudować w ciągu roku autostradę w lini prostej z miejscowości A poprzez B do C (gdzie AC=24 km, BC=8 km) oraz prostopadle do niej z miejscowości E poprzez D do C (gdzie EC=18 km, DC=6 km), czyli oba odcinki przetną się pod kątem prostym w miejscowości C. Ponadto planowano połączyć miejscowość B z D co zamykało by całą inwestycję. Pieniądze były zapewnione, znalazł się wykonawca, pobrał pieniądze, postawił dwie ekipy drogowe które ozpoczeły budowę z miejscowości A i E.
Po upływie umownego terminu okazało się, że jedna ekipa wybudowała tylko odcinek AB, druga ED a odcinka BD nawet nie rozpoczęto. Inwestor postanowił sporządzić bilans autostrady wykonanej i niewykonanej i rozliczyć się za każdy kilometr niewykonanej drogi karami umownymi z niesolidnym wykonawcą. W bilansowaniu okazało się jeszcze, że geodeci nie zmierzyli jeszcze odcinka BD.
Wykonano: AC-BC=24-8=16 km,
EC-DC=18-6=12 km
Razem 28 km
Niewykonano: BD, \(\displaystyle{ x^{2}=8^{2}+6^{2}; x=\sqrt{8^{2}+6^{2}}=\sqrt{100}=10}\)km
BC=8 km
DC=6 km
Razem 24 km
Jak widzimy liczyliśmy na liczbach dodatnich orzymując w obu zestawieniach wynik dodatni.
ćzyżby nie było różnicy między wykonaniem autostrady a jej niewykonaniem?
Różnica istnieje - w przeciwnym znaczeniu słowa "niewykonano" zastępującym znak minus choć to pozornie nie jest uwidocznione w rachunku. Inaczej mówiąc zamieniliśmy ujemne liczby "niewykonano" na dodatnie i na tych nieprawdziwych dodatnich odcinkach uprawialiśmy geometrię. Jeżeli jednak uważnie przeanalizujemy jakie są właściwie odcinki BC,DE i przeciwprostokątna, to musimy uznać, że są to odcinki ujemne w stosunku do założonego planu, kture pomniejszyły planowane do wykonania odcinki AC i EC tak, że pozostało z nich po złożeniu 24+(-8)=16 km oraz 18+(-6)=12 km. Po stronie "niewykonano" mamy więc realnie (-8)+(-6) i musi być +(-10)= -24 km. Czyli ujemne odcinki w tym i przeciwprostokątną
zliczyliśmy za pomocą geometri odcinków dodatnich. Nie wnikając w poprawność tak uprawianej geometrii możemy być tylko pewni, że przeciwprostokątna mimo, że uzyskiwana jest z pierwiastka drugiego stopnia musi być liczbą ujemną, ale jak ją uzyskać?, skoro pierwiastek arytmetyczny parzystego stopnia określony na podstawie klasycznej definicji potęgi definiuje się dla licb nieujemnych a wynik pierwiastkowania jest także nieujemny.
Takie i podobne problemy doprowadziły zapewne do wniosku, że geometrią można zajmować śię tylko w oparciu o odcinki dodatnie.
Nie jestem wprawdzie matematykiem ale nie spotkałem się z formalnym zakazem przedstawiania problemów geometrycznych na liczbach ujemnych i nie sądzę by on był.
Sądzę raczej, że zasady posługiwania się geometrią określone zostały dla liczb dodatnich a dla liczb ujemnych ich nie określono, więc to dla mnie nie przeszkadza posługiwac śię tymi ostatnimi. A skoro wiemy, że przeciwprostokątna musi być równa -10 km a można ją uzyskać tylko z pierwiastka kwadratowego, wiemy pozatem, że pod pierwiastkiem musi być jej kwadrat
i wiemy ponadto, że dwukrotny iloczyn liczby ujemnej -bo tylko z tym mamy tu do czynienia- stanowi kwadrat liczby nieujemnej dający nieujemny pierwiastek - to co stanowi kwadrat liczby ujemnej? Bo tylko taki pozostało umieścić pod pierwiastkiem. Pole wyboru jest dość zawężone
Mamy dwie liczby ujemne (-6)i(-8) z których powinniśmy otrzymać kwadrat liczby ujemnej
Zbudowanie sumy kwadratów klasycznych odpada bo otrzymamy pierwiastek ze 100 =10, pozostaje\(\displaystyle{ \sqrt{-6*6+(-8*8)=-100=-10*10}=\sqrt{(-6)^{2}+(-8)^{2}=(-10)^{2}}}\)=-10. Moim zdaniem posługując się geometria dodatnia, gdzie wszystko działa jak w zegarku i nie ma sprzeczności, nic byśmy nie uzyskali. Dopiero działając na styku sprzeczności można wnieść cos nowego rozwiązując je.
Co do równania na sumę sześcianów nie bardzo wiem jaki Ty masz z tym problem, dlatego możliwie dokładnie pokażę jak ja to robię. Najlepiej na liczbach ujemnych dla -n gdzie n większe od 0, -1+(-2)+(-3)+...+(-n)=\(\displaystyle{ \frac{n(-1)(n+1)}{2}}\)
gdzie: n - ilość wyrazów szeregu ; (-1)(n+1) to następny wyraz po (-n).
Całkiem dokładnie to powinno być nie 2 ale 2! , bo to jeden z członków całej rodziny szeregów o rosnących silniach w mianowniku.
\(\displaystyle{ \frac{n(-1)(n+1)}{2!}=\frac{-n(n+1)}{2!}=\frac{-n*n+(-n)}{2!}=\frac{(-n)^{2}+(-n)}{2!}}\) Dla liczb dodatnich:\(\displaystyle{ \frac{n^{2}+n}{2!}}\) gdzie n większy od 0.
\(\displaystyle{ (-1)^{3}+(-2)^{3}+(-3)^{3}+...=\frac{(-n)^{2}+(-n)}{2!}*\frac{n^{2}+n}{2!}}\)=
\(\displaystyle{ \frac{-n*n*n*n+2(-n*n*n)+(-n*n)}{2!^{2}}=\frac{(-n)^{4}+2(-n)^{3}+(-n)^{2}}{2!^{2}}\)=\(\displaystyle{ [\frac{(-n)^{2}+(-n)}{2!}]^{2}}\)
np dla -n=-3 \(\displaystyle{ [\frac{-3*3+(-3)}{2!}]^{2}=(-6)^{2}=-6*6=-36}\)
Dla sześcianów dodatnich;\(\displaystyle{ [\frac{n^{2}+n}{2!}]^{2}}\)
Oczywiste
[ Dodano: 17 Październik 2006, 09:24 ]
Dodano.
Piszesz tak:" jeśli liczba jest ujemna to parzystego wykładnika nie można wciągać pod pierwiastek".
Jeśli mamy w myśl klasycznej definicji potegi kwadrat liczby ujemnej (-2)(-2)=\(\displaystyle{ (-2)^{2}}\) i będziemy się trzymać tego co zacytowałem to również liczby 4 nie bedziemy mogli wciągnąć pod pierwiastek bo (-2)(-2)=4 i jest to ta sama liczba.
[ Dodano: 18 Październik 2006, 15:44 ]
Cicho się jakoś zrobiło z czego można wnioskować, że albo to jest szok, albo nic z tego nie zostało zrozumiane, gdyż w głowie się nie mieści, że każda potęga liczby ujemnej jest liczbą ujemną. Dlatego dla tych co tego nie rozumieją przytoczę taki przykład.
Mamy obliczyć pole powierzchni ramki kwadratu o boku "a" w którym brakuje kwadratu o boku
"b". Tok rozumowania jest taki: jeżeli na płaszczyznę o powierzchni \(\displaystyle{ a^{2}}\) nałożymy wymyśloną płaszczyznę stanowiącą kwadrat liczby ujemnej czyli antypłaszczyznę
\(\displaystyle{ (-b)^{2}}\) to antypłaszczyzna \(\displaystyle{ (-b)^{2}}\) unicestwi wirtualną płaszczyznę \(\displaystyle{ b^{2}}\) i siebie w wyniku czego powstanie sama ramka z plaszczyżną zerową w środku - czyli pustym miejscem. \(\displaystyle{ a^{2}+(-b)^{2}}\)= powierzchnia ramki zatem
\(\displaystyle{ a*a+(-b*b)}\)= pow. ramki czyli kwadratem liczby (-b) jest (-b*b).
Tak liczymy od tysięcy lat a*a - b*b= pow. ramki nie zdając sobie sprawy, że obliczyliśmy kwadrat liczby ujemnej (-b) w ten sposób, że a*a+(-b*b)=pow. ramki
Czyli \(\displaystyle{ a^{2}+(-b)^{2}=}\)pow. ramki.
Niby proste.
[ Dodano: 26 Październik 2006, 21:43 ]
Ze względu na to, że nie ma odważnych by wypowiedzieć się w temacie, zapewne by nie narazić się na śmieszność, a z uwagi na duże zainteresowanie tematem, pozwoliłem sobie na ten dopisek. Zapewniam, że nie ma tu nic śmiesznego o czym sami się przekonacie jeśli tego jeszcze nie zrobiliście.
Wcześniej pisałem, że należy odróżniać potęgi od n-krotnych iloczynów liczb ujemnych.
Jak zatem rozpoznać z czym mamy do czynienia? Otóż wszystkie równania
\(\displaystyle{ ax^{2}+bx+c =0}\), w których \(\displaystyle{ |b|=2\sqrt{|a|*|c|}}\) są równaniami potęgowymi. Jest to wstępny szacunek. Dokładną analizą budowy tych kwadratów nie będę się teraz zajmował - chyba, że ktoś sobie tego zażyczy.
Zajmę się prostym przypadkiem równań potęgowych \(\displaystyle{ ax^{2}+c=0}\).
Wszyscy znamy równanie\(\displaystyle{ (ax)^{2}-c^{2}=(ax+c)(ax-c)}\) są to właśnie te równania potęgowe. Jeżeli przyjmiemy np.a=2;c=3 to mamy (2x-3)(2x+3). Nie da się ukryć, że cyfra 3 przed którą stoi znak minus jest liczbą ujemną tak, że [2x+(-3)](2x+3)=2x*2x+(-3*3)=
\(\displaystyle{ =4x^{2}+(-3)^{2}=4x^{2}-9;4x^{2}-9=0}\) gdy\(\displaystyle{ x=\sqrt{\frac{9}{4}}}\)=
\(\displaystyle{ =\sqrt{\frac{-c}{a}}=\frac{3}{2}}\). Równanie drugiego typu to:
(3-2x)(3+2x)=[3+2(-x)](3+2x)=3*3+4(-x*x)=\(\displaystyle{ 3^{2}+4(-x)^{2}}\),
czyli \(\displaystyle{ 4(-x)^{2}+3^{2}}\)(dla x mniejszy od 0) skąd uogólnione równanie dla każdego x \(\displaystyle{ 4x^{2}+9=0
Mamy więc dwa typy równań;\(\displaystyle{ 4x^{2}-9=0}\) oraz\(\displaystyle{ 4x^{2}+9=0}\)
\(\displaystyle{ x=\sqrt{\frac{-c}{a}}=\sqrt{\frac{9}{4}}=\frac{3}{2}}\)
oraz \(\displaystyle{ =\sqrt{\frac{-9}{4}}=\frac{-3}{2}}\).
Każdy może sporządzić wykres funkcji\(\displaystyle{ y=4x^{2}+9;y=4x^{2}-9}\) (podstawiając oczywiste po ujemnej stronie osi x, \(\displaystyle{ (-x)^{2}=(-x*x)}\)) i znależć na wykresie funkcji te miejsca zerowe.
Nic dodać, nic ując.
[ Dodano: 27 Październik 2006, 11:00 ]
Miałem sprawdzić, czy wyznaczone z funkcji miejsca zerowe są prawdziwe ale zapomniałem co teraz spiesznie czynię.
\(\displaystyle{ 4x^{2}-9=0=(2\frac{3}{2}-3)(2*\frac{3}{2}+3)=(2*\frac{3}{2})^{2}+(-3)^{2}=}\)
\(\displaystyle{ =2*\frac{3}{2}*2*\frac{3}{2}+(-3*3)=9-9=0}\),\(\displaystyle{ 4x^{2}+9=y}\) po dojściu do ujemnej części osi liczbowej daje równanie:
\(\displaystyle{ 4(-x)^{2}+9=0=[2(-\frac{3}{2})+3](2*\frac{3}{2}+3)=}\)
\(\displaystyle{ =[2(-\frac{3}{2})*2*\frac{3}{2}+3*3]=4(-\frac{3}{2})^{2}+3^{2}=-9+9=0}\).
Funkcja \(\displaystyle{ y=4x^{2}+9}\) dla dwukrotnego iloczynu, po dojściu do ujemnej części osi liczbowej, zawija ramię wykresu tworząc parabolę z minimum odległym o "c" od osi liczbowej x i nie uzyskujemy miejsc zerowych właśnie dlatego, że dwukrotny i każdy inny parzysty n-krotny iloczyn nie jest potęgą. Nie ma absolutnie żadnej różnicy czy tworzymy taki iloczyn z liczby ujemnej czy bierzemy tą liczbę w znak bezwzględności tak, że
|-x|*|-x|=\(\displaystyle{ |-x|^{2}}\) i wobec tego nie ma tu mowy o uzyskaniu ujemnej liczby z pierwiastka parzystego stopnia, gdyż pod pierwiastkiem jest \(\displaystyle{ \sqrt{|-x|^{2}}}\)=|-x|=x.
Wizualny brak tego znaku bezwzględności jest tylko kwestią dopełnienia formalności umieszczenia go wobec konieczności odróżniania potęgi liczby ujemnej od n-krotnych parzystych jej iloczynów.
Tymczasem pod pierwiastkiem ma być kwadrat liczby ujemnej,
\(\displaystyle{ \sqrt{(-x)^{2}}=\sqrt{-x*x}=\frac{-x*x}{x}=-x}\), bądż inaczej
\(\displaystyle{ \sqrt{(-x)^{2}}=[(-x)^{2}]^{\frac{1}{2}}=(-x)^{\frac{2}{2}}=(-x)^{1}=-x}\).}\)
Inwestor zaplanował wybudować w ciągu roku autostradę w lini prostej z miejscowości A poprzez B do C (gdzie AC=24 km, BC=8 km) oraz prostopadle do niej z miejscowości E poprzez D do C (gdzie EC=18 km, DC=6 km), czyli oba odcinki przetną się pod kątem prostym w miejscowości C. Ponadto planowano połączyć miejscowość B z D co zamykało by całą inwestycję. Pieniądze były zapewnione, znalazł się wykonawca, pobrał pieniądze, postawił dwie ekipy drogowe które ozpoczeły budowę z miejscowości A i E.
Po upływie umownego terminu okazało się, że jedna ekipa wybudowała tylko odcinek AB, druga ED a odcinka BD nawet nie rozpoczęto. Inwestor postanowił sporządzić bilans autostrady wykonanej i niewykonanej i rozliczyć się za każdy kilometr niewykonanej drogi karami umownymi z niesolidnym wykonawcą. W bilansowaniu okazało się jeszcze, że geodeci nie zmierzyli jeszcze odcinka BD.
Wykonano: AC-BC=24-8=16 km,
EC-DC=18-6=12 km
Razem 28 km
Niewykonano: BD, \(\displaystyle{ x^{2}=8^{2}+6^{2}; x=\sqrt{8^{2}+6^{2}}=\sqrt{100}=10}\)km
BC=8 km
DC=6 km
Razem 24 km
Jak widzimy liczyliśmy na liczbach dodatnich orzymując w obu zestawieniach wynik dodatni.
ćzyżby nie było różnicy między wykonaniem autostrady a jej niewykonaniem?
Różnica istnieje - w przeciwnym znaczeniu słowa "niewykonano" zastępującym znak minus choć to pozornie nie jest uwidocznione w rachunku. Inaczej mówiąc zamieniliśmy ujemne liczby "niewykonano" na dodatnie i na tych nieprawdziwych dodatnich odcinkach uprawialiśmy geometrię. Jeżeli jednak uważnie przeanalizujemy jakie są właściwie odcinki BC,DE i przeciwprostokątna, to musimy uznać, że są to odcinki ujemne w stosunku do założonego planu, kture pomniejszyły planowane do wykonania odcinki AC i EC tak, że pozostało z nich po złożeniu 24+(-8)=16 km oraz 18+(-6)=12 km. Po stronie "niewykonano" mamy więc realnie (-8)+(-6) i musi być +(-10)= -24 km. Czyli ujemne odcinki w tym i przeciwprostokątną
zliczyliśmy za pomocą geometri odcinków dodatnich. Nie wnikając w poprawność tak uprawianej geometrii możemy być tylko pewni, że przeciwprostokątna mimo, że uzyskiwana jest z pierwiastka drugiego stopnia musi być liczbą ujemną, ale jak ją uzyskać?, skoro pierwiastek arytmetyczny parzystego stopnia określony na podstawie klasycznej definicji potęgi definiuje się dla licb nieujemnych a wynik pierwiastkowania jest także nieujemny.
Takie i podobne problemy doprowadziły zapewne do wniosku, że geometrią można zajmować śię tylko w oparciu o odcinki dodatnie.
Nie jestem wprawdzie matematykiem ale nie spotkałem się z formalnym zakazem przedstawiania problemów geometrycznych na liczbach ujemnych i nie sądzę by on był.
Sądzę raczej, że zasady posługiwania się geometrią określone zostały dla liczb dodatnich a dla liczb ujemnych ich nie określono, więc to dla mnie nie przeszkadza posługiwac śię tymi ostatnimi. A skoro wiemy, że przeciwprostokątna musi być równa -10 km a można ją uzyskać tylko z pierwiastka kwadratowego, wiemy pozatem, że pod pierwiastkiem musi być jej kwadrat
i wiemy ponadto, że dwukrotny iloczyn liczby ujemnej -bo tylko z tym mamy tu do czynienia- stanowi kwadrat liczby nieujemnej dający nieujemny pierwiastek - to co stanowi kwadrat liczby ujemnej? Bo tylko taki pozostało umieścić pod pierwiastkiem. Pole wyboru jest dość zawężone
Mamy dwie liczby ujemne (-6)i(-8) z których powinniśmy otrzymać kwadrat liczby ujemnej
Zbudowanie sumy kwadratów klasycznych odpada bo otrzymamy pierwiastek ze 100 =10, pozostaje\(\displaystyle{ \sqrt{-6*6+(-8*8)=-100=-10*10}=\sqrt{(-6)^{2}+(-8)^{2}=(-10)^{2}}}\)=-10. Moim zdaniem posługując się geometria dodatnia, gdzie wszystko działa jak w zegarku i nie ma sprzeczności, nic byśmy nie uzyskali. Dopiero działając na styku sprzeczności można wnieść cos nowego rozwiązując je.
Co do równania na sumę sześcianów nie bardzo wiem jaki Ty masz z tym problem, dlatego możliwie dokładnie pokażę jak ja to robię. Najlepiej na liczbach ujemnych dla -n gdzie n większe od 0, -1+(-2)+(-3)+...+(-n)=\(\displaystyle{ \frac{n(-1)(n+1)}{2}}\)
gdzie: n - ilość wyrazów szeregu ; (-1)(n+1) to następny wyraz po (-n).
Całkiem dokładnie to powinno być nie 2 ale 2! , bo to jeden z członków całej rodziny szeregów o rosnących silniach w mianowniku.
\(\displaystyle{ \frac{n(-1)(n+1)}{2!}=\frac{-n(n+1)}{2!}=\frac{-n*n+(-n)}{2!}=\frac{(-n)^{2}+(-n)}{2!}}\) Dla liczb dodatnich:\(\displaystyle{ \frac{n^{2}+n}{2!}}\) gdzie n większy od 0.
\(\displaystyle{ (-1)^{3}+(-2)^{3}+(-3)^{3}+...=\frac{(-n)^{2}+(-n)}{2!}*\frac{n^{2}+n}{2!}}\)=
\(\displaystyle{ \frac{-n*n*n*n+2(-n*n*n)+(-n*n)}{2!^{2}}=\frac{(-n)^{4}+2(-n)^{3}+(-n)^{2}}{2!^{2}}\)=\(\displaystyle{ [\frac{(-n)^{2}+(-n)}{2!}]^{2}}\)
np dla -n=-3 \(\displaystyle{ [\frac{-3*3+(-3)}{2!}]^{2}=(-6)^{2}=-6*6=-36}\)
Dla sześcianów dodatnich;\(\displaystyle{ [\frac{n^{2}+n}{2!}]^{2}}\)
Oczywiste
[ Dodano: 17 Październik 2006, 09:24 ]
Dodano.
Piszesz tak:" jeśli liczba jest ujemna to parzystego wykładnika nie można wciągać pod pierwiastek".
Jeśli mamy w myśl klasycznej definicji potegi kwadrat liczby ujemnej (-2)(-2)=\(\displaystyle{ (-2)^{2}}\) i będziemy się trzymać tego co zacytowałem to również liczby 4 nie bedziemy mogli wciągnąć pod pierwiastek bo (-2)(-2)=4 i jest to ta sama liczba.
[ Dodano: 18 Październik 2006, 15:44 ]
Cicho się jakoś zrobiło z czego można wnioskować, że albo to jest szok, albo nic z tego nie zostało zrozumiane, gdyż w głowie się nie mieści, że każda potęga liczby ujemnej jest liczbą ujemną. Dlatego dla tych co tego nie rozumieją przytoczę taki przykład.
Mamy obliczyć pole powierzchni ramki kwadratu o boku "a" w którym brakuje kwadratu o boku
"b". Tok rozumowania jest taki: jeżeli na płaszczyznę o powierzchni \(\displaystyle{ a^{2}}\) nałożymy wymyśloną płaszczyznę stanowiącą kwadrat liczby ujemnej czyli antypłaszczyznę
\(\displaystyle{ (-b)^{2}}\) to antypłaszczyzna \(\displaystyle{ (-b)^{2}}\) unicestwi wirtualną płaszczyznę \(\displaystyle{ b^{2}}\) i siebie w wyniku czego powstanie sama ramka z plaszczyżną zerową w środku - czyli pustym miejscem. \(\displaystyle{ a^{2}+(-b)^{2}}\)= powierzchnia ramki zatem
\(\displaystyle{ a*a+(-b*b)}\)= pow. ramki czyli kwadratem liczby (-b) jest (-b*b).
Tak liczymy od tysięcy lat a*a - b*b= pow. ramki nie zdając sobie sprawy, że obliczyliśmy kwadrat liczby ujemnej (-b) w ten sposób, że a*a+(-b*b)=pow. ramki
Czyli \(\displaystyle{ a^{2}+(-b)^{2}=}\)pow. ramki.
Niby proste.
[ Dodano: 26 Październik 2006, 21:43 ]
Ze względu na to, że nie ma odważnych by wypowiedzieć się w temacie, zapewne by nie narazić się na śmieszność, a z uwagi na duże zainteresowanie tematem, pozwoliłem sobie na ten dopisek. Zapewniam, że nie ma tu nic śmiesznego o czym sami się przekonacie jeśli tego jeszcze nie zrobiliście.
Wcześniej pisałem, że należy odróżniać potęgi od n-krotnych iloczynów liczb ujemnych.
Jak zatem rozpoznać z czym mamy do czynienia? Otóż wszystkie równania
\(\displaystyle{ ax^{2}+bx+c =0}\), w których \(\displaystyle{ |b|=2\sqrt{|a|*|c|}}\) są równaniami potęgowymi. Jest to wstępny szacunek. Dokładną analizą budowy tych kwadratów nie będę się teraz zajmował - chyba, że ktoś sobie tego zażyczy.
Zajmę się prostym przypadkiem równań potęgowych \(\displaystyle{ ax^{2}+c=0}\).
Wszyscy znamy równanie\(\displaystyle{ (ax)^{2}-c^{2}=(ax+c)(ax-c)}\) są to właśnie te równania potęgowe. Jeżeli przyjmiemy np.a=2;c=3 to mamy (2x-3)(2x+3). Nie da się ukryć, że cyfra 3 przed którą stoi znak minus jest liczbą ujemną tak, że [2x+(-3)](2x+3)=2x*2x+(-3*3)=
\(\displaystyle{ =4x^{2}+(-3)^{2}=4x^{2}-9;4x^{2}-9=0}\) gdy\(\displaystyle{ x=\sqrt{\frac{9}{4}}}\)=
\(\displaystyle{ =\sqrt{\frac{-c}{a}}=\frac{3}{2}}\). Równanie drugiego typu to:
(3-2x)(3+2x)=[3+2(-x)](3+2x)=3*3+4(-x*x)=\(\displaystyle{ 3^{2}+4(-x)^{2}}\),
czyli \(\displaystyle{ 4(-x)^{2}+3^{2}}\)(dla x mniejszy od 0) skąd uogólnione równanie dla każdego x \(\displaystyle{ 4x^{2}+9=0
Mamy więc dwa typy równań;\(\displaystyle{ 4x^{2}-9=0}\) oraz\(\displaystyle{ 4x^{2}+9=0}\)
\(\displaystyle{ x=\sqrt{\frac{-c}{a}}=\sqrt{\frac{9}{4}}=\frac{3}{2}}\)
oraz \(\displaystyle{ =\sqrt{\frac{-9}{4}}=\frac{-3}{2}}\).
Każdy może sporządzić wykres funkcji\(\displaystyle{ y=4x^{2}+9;y=4x^{2}-9}\) (podstawiając oczywiste po ujemnej stronie osi x, \(\displaystyle{ (-x)^{2}=(-x*x)}\)) i znależć na wykresie funkcji te miejsca zerowe.
Nic dodać, nic ując.
[ Dodano: 27 Październik 2006, 11:00 ]
Miałem sprawdzić, czy wyznaczone z funkcji miejsca zerowe są prawdziwe ale zapomniałem co teraz spiesznie czynię.
\(\displaystyle{ 4x^{2}-9=0=(2\frac{3}{2}-3)(2*\frac{3}{2}+3)=(2*\frac{3}{2})^{2}+(-3)^{2}=}\)
\(\displaystyle{ =2*\frac{3}{2}*2*\frac{3}{2}+(-3*3)=9-9=0}\),\(\displaystyle{ 4x^{2}+9=y}\) po dojściu do ujemnej części osi liczbowej daje równanie:
\(\displaystyle{ 4(-x)^{2}+9=0=[2(-\frac{3}{2})+3](2*\frac{3}{2}+3)=}\)
\(\displaystyle{ =[2(-\frac{3}{2})*2*\frac{3}{2}+3*3]=4(-\frac{3}{2})^{2}+3^{2}=-9+9=0}\).
Funkcja \(\displaystyle{ y=4x^{2}+9}\) dla dwukrotnego iloczynu, po dojściu do ujemnej części osi liczbowej, zawija ramię wykresu tworząc parabolę z minimum odległym o "c" od osi liczbowej x i nie uzyskujemy miejsc zerowych właśnie dlatego, że dwukrotny i każdy inny parzysty n-krotny iloczyn nie jest potęgą. Nie ma absolutnie żadnej różnicy czy tworzymy taki iloczyn z liczby ujemnej czy bierzemy tą liczbę w znak bezwzględności tak, że
|-x|*|-x|=\(\displaystyle{ |-x|^{2}}\) i wobec tego nie ma tu mowy o uzyskaniu ujemnej liczby z pierwiastka parzystego stopnia, gdyż pod pierwiastkiem jest \(\displaystyle{ \sqrt{|-x|^{2}}}\)=|-x|=x.
Wizualny brak tego znaku bezwzględności jest tylko kwestią dopełnienia formalności umieszczenia go wobec konieczności odróżniania potęgi liczby ujemnej od n-krotnych parzystych jej iloczynów.
Tymczasem pod pierwiastkiem ma być kwadrat liczby ujemnej,
\(\displaystyle{ \sqrt{(-x)^{2}}=\sqrt{-x*x}=\frac{-x*x}{x}=-x}\), bądż inaczej
\(\displaystyle{ \sqrt{(-x)^{2}}=[(-x)^{2}]^{\frac{1}{2}}=(-x)^{\frac{2}{2}}=(-x)^{1}=-x}\).}\)