Iloczyn ułamków

[tsotsi]

Wykazać, że spełniona jest nierówność: \(\displaystyle{ \frac{1}{15}< \frac{1}{2}\cdot \frac{3}{4}\cdot \frac{5}{6}\cdot...\cdot \frac{99}{100}< \frac{1}{10}}\)

I zabrałem się za to tak:
Przyjmuję sobie: \(\displaystyle{ y= \frac{2}{3}\cdot \frac{4}{5}\cdot \frac{6}{7}\cdot...\cdot \frac{100}{101}}\)
oraz \(\displaystyle{ x=\frac{1}{2}\cdot \frac{3}{4}\cdot \frac{5}{6}\cdot...\cdot \frac{99}{100}}\)
Przez porównanie odpowiednich czynników iloczynów \(\displaystyle{ \frac{2}{3}> \frac{1}{2} itd...}\) widzimy, że \(\displaystyle{ y>x}\).
Zatem mamy: \(\displaystyle{ x ^{2} < x\cdot y \Rightarrow x^{2} < \frac{1}{101} \Rightarrow x< \frac{1}{10}}\)

W drugiej części przyjmuję sobie: \(\displaystyle{ z= \frac{2}{5}\cdot \frac{4}{7}\cdot \frac{6}{9}\cdot...\cdot \frac{100}{103}}\)
Zatem, po analogicznym rozumowaniu jak wyżej: \(\displaystyle{ x>z \Rightarrow x^{2}>x\cdotz \Rightarrow x^{2} > \frac{3}{103} \Rightarrow x > \frac{1}{6}}\)

A zatem otrzymaliśmy, że \(\displaystyle{ x< \frac{1}{10} \wedge x > \frac{1}{6}}\) czyli dwa wykluczające się warunki.

Gdzie został popełniony błąd? Czekam na jakieś sugestie

[marseel]

\(\displaystyle{ x>z \Rightarrow x^{2}>x*z\cdotz \Rightarrow x^{2} > \frac{3}{103} \Rightarrow x > \frac{1}{6}}\) Tu jest źle. Powinno być:
\(\displaystyle{ x^{2} > \frac{3}{101*103}}\)

[tsotsi]

No tak! To jest najgorsze jak się siedzi tyle czasu a potem się okazuje, że błąd był taki oczywisty Dzięki -- 6 kwi 2010, o 12:50 --A tak btw to nie rozwiązuje to problemu jak wykazać, że \(\displaystyle{ x> \frac{1}{15}}\)
Ma ktoś jakiś pomysł?