Dowód związku między NWD i NWW

[patryk007]

Jak jakoś formalnie udowodnić prosty związek:
\(\displaystyle{ NWD(a,b)\cdot NWW(a,b)=a\cdot b}\)

Czuję sens tego i widzę, że tak jest w praktyce ale nie na tyle żeby to umieć sensownie dowieść.

[Qń]

Wystarczy pokazać, że dowolna liczba pierwsza \(\displaystyle{ p}\) wchodzi w rozkład na czynniki pierwsze lewej i prawej strony z takim samym wykładnikiem. Załóż, że \(\displaystyle{ p}\) wchodzi rozkład \(\displaystyle{ a}\) na czynniki pierwsze z wykładnikiem \(\displaystyle{ n}\) oraz w rozkład \(\displaystyle{ b}\) na czynniki pierwsze z wykładnikiem \(\displaystyle{ m}\). Bez utraty ogólności można dodatkowo założyć, że \(\displaystyle{ n \leq m}\). Spróbuj dowieść teraz, że w skład obu stron \(\displaystyle{ p}\) wchodzi z wykładnikiem \(\displaystyle{ n+m}\).

Q.