Teoria liczb

[krysia78]

Witam.
Mam takie zadanie :
1. Wykaz ,ze jesli k , n sa liczbami naturalnymi oraz \(\displaystyle{ 1 \le k \le n}\), to \(\displaystyle{ k(n-k+1) \ge n}\).
dziekuje

[klaustrofob]

1) rozważmy trójmian kwadratowy: \(\displaystyle{ f(t)= t(n-t+1)}\) jego miejscami zerowymi są 0 oraz n+1. w przedziale \(\displaystyle{ <0, \frac{n+1}{2}>}\) trójmian rośnie do \(\displaystyle{ f(\frac{n+1}{2})}\), a w przedziale \(\displaystyle{ <\frac{n+1}{2},n+1>}\) maleje. ponieważ \(\displaystyle{ f(1)=f(n)=n}\) wnioskujemy stąd, że \(\displaystyle{ f(t)>f(1)}\) dla \(\displaystyle{ t\in(1,n)}\). to kończy dowód.

2) inny sposób: ustawiamy kn przedmiotów w tablicy o k wierszach i n kolumnach. w każdej kolumnie malujemy k przedmiotów na zielono. ponieważ \(\displaystyle{ 1\lek\le n}\) jest to zawsze możliwe. robimy tak w k-1 wierszach. widać, że jeden wiersz nie zostanie wcale pomalowany. czyli zostaje nam niepomalowanych: \(\displaystyle{ nk-(k-1)k=k(n-k+1)}\) przedmiotów. z tego co wyżej wynika, że ta liczba jest \(\displaystyle{ \ge n}\).

[Adifek]

Można prościej. Skoro \(\displaystyle{ 1 \le k \le n}\), to:
\(\displaystyle{ (k-1)(k-n) \le 0 \\
k^{2}-kn-k+n \le 0 \\
k^{2}-kn-k \le -n \\
k(-n+k-1) \le -n \\
k(n-k+1) \ge n}\)