Witam, podczas rozmyśleń matematycznych natrafiłem na problem, którego nie jestem w stanie rozwiązać.
Otóż, dany jest ciąg dany jest np. wzorem: \(\displaystyle{ a ^{10}}\)
zatem kolejne wyrazy ciągu to
\(\displaystyle{ 0 ^{10} ,1 ^{10},2 ^{10},3 ^{10},n ^{10}}\)
Moje pytanie:
jakim wzorem obliczyć sumę pierwszych 100 (lub n pierwszych wyrazów) wyrazów takiego ciągu, jak obliczyć sumę wyrazów od 40 do 60 (lub ogólnie od n do k).
Dziękuję
p.s.
jak widać kolejny wyraz nie jest obliczany z wartości poprzedniego, lecz z jakiej wartości bazowej.
np baza to liczba 4, wtedy ciąg ma np. postać \(\displaystyle{ 4*a ^{3}}\), lub bardziej rozbudowana forma , gdzie baza wynosi 4x+7 wtedy ciąg ma postać \(\displaystyle{ ((4x+7)*a)^{x}}\) lub prostszy wariant \(\displaystyle{ (4x+7)*(a)^{x}}\)
suma elementów ciągu typu a^10
-
Piotr Rutkowski
- Użytkownik
- Posty: 2234
- Rejestracja: 26 paź 2006, o 18:08
- Płeć: Mężczyzna
- Lokalizacja: Warszawa
- Podziękował: 22 razy
- Pomógł: 390 razy
suma elementów ciągu typu a^10
Jeśli nie chcesz wzoru zwartego (a nie chce mi się teraz go wyprowadzać), to pokażę Ci ogólny algorytm, który pozwoli Ci znaleźć takie sumy:
Najpierw obliczamy \(\displaystyle{ \sum_{k=1}^{n}k=\frac{n(n+1)}{2}}\)
Będziemy postępować indukcyjnie tzn.:
Mamy dane \(\displaystyle{ \sum_{k=1}^{n}k^{a}}\) dla \(\displaystyle{ a\in \mathbb{N}}\)
Teraz \(\displaystyle{ \sum_{k=1}^{n}k^{a+1}=\sum_{k=1}^{n}k\cdot k^{a}=\sum_{l=1}^{n}\sum_{k=l}^{n}k^{a}}\)
Zauważmy, że \(\displaystyle{ \sum_{k=l}^{n}k^{a}=(\sum_{k=1}^{n}k^{a})-(\sum_{k=1}^{l-1}k^{a})}\), a indukcyjnie masz zwarte wzory na obie te sumy (to jednocześnie odpowiada na Twoje drugie pytanie), a łatwo wysumujesz po \(\displaystyle{ l}\), bo te wzory zwarte będą wielomianami \(\displaystyle{ l}\) stopnia od \(\displaystyle{ 1}\) do \(\displaystyle{ a+1}\), przy czym ostatni będziesz mógł przerzucić na drugą stronę.
Pokażę to na prostym przykładzie jak otrzymać wzór na sumę kwadratów:
Mamy \(\displaystyle{ \sum_{1}^{n}k=\frac{n(n+1)}{2}}\)
Teraz \(\displaystyle{ \sum_{k=1}^{n}k^{2}=\sum_{k=1}^{n}k\cdot k=\sum_{l=1}^{n}\sum_{k=l}^{n}k=
\sum_{l=1}^{n}(\frac{n(n+1)}{2}-\frac{(l-1)l}{2})=\frac{n^{2}(n+1)}-\sum_{l=1}^{n}\frac{l^{2}}{2}+\frac{n(n+1)}{4}}\)
Porządkując strony uzyskasz \(\displaystyle{ 3\sum_{l=1}^{n}l^{2}=n^{2}(n+1)+\frac{n(n+1)}{2}=\frac{n(n+1)(2n+1)}{2}}\), a dzieląc przez 3 otrzymujemy wzór w postaci zwartej.
Najpierw obliczamy \(\displaystyle{ \sum_{k=1}^{n}k=\frac{n(n+1)}{2}}\)
Będziemy postępować indukcyjnie tzn.:
Mamy dane \(\displaystyle{ \sum_{k=1}^{n}k^{a}}\) dla \(\displaystyle{ a\in \mathbb{N}}\)
Teraz \(\displaystyle{ \sum_{k=1}^{n}k^{a+1}=\sum_{k=1}^{n}k\cdot k^{a}=\sum_{l=1}^{n}\sum_{k=l}^{n}k^{a}}\)
Zauważmy, że \(\displaystyle{ \sum_{k=l}^{n}k^{a}=(\sum_{k=1}^{n}k^{a})-(\sum_{k=1}^{l-1}k^{a})}\), a indukcyjnie masz zwarte wzory na obie te sumy (to jednocześnie odpowiada na Twoje drugie pytanie), a łatwo wysumujesz po \(\displaystyle{ l}\), bo te wzory zwarte będą wielomianami \(\displaystyle{ l}\) stopnia od \(\displaystyle{ 1}\) do \(\displaystyle{ a+1}\), przy czym ostatni będziesz mógł przerzucić na drugą stronę.
Pokażę to na prostym przykładzie jak otrzymać wzór na sumę kwadratów:
Mamy \(\displaystyle{ \sum_{1}^{n}k=\frac{n(n+1)}{2}}\)
Teraz \(\displaystyle{ \sum_{k=1}^{n}k^{2}=\sum_{k=1}^{n}k\cdot k=\sum_{l=1}^{n}\sum_{k=l}^{n}k=
\sum_{l=1}^{n}(\frac{n(n+1)}{2}-\frac{(l-1)l}{2})=\frac{n^{2}(n+1)}-\sum_{l=1}^{n}\frac{l^{2}}{2}+\frac{n(n+1)}{4}}\)
Porządkując strony uzyskasz \(\displaystyle{ 3\sum_{l=1}^{n}l^{2}=n^{2}(n+1)+\frac{n(n+1)}{2}=\frac{n(n+1)(2n+1)}{2}}\), a dzieląc przez 3 otrzymujemy wzór w postaci zwartej.
suma elementów ciągu typu a^10
Dziękuję Piotrze.
Po kilku minutach analizowania Twojego wywodu zrozumiałem jak zsumować sumy dowolnych ciągów potęg o wykładnikach naturalnych (bazując na rozpisanej sumie kwadratów).
Pozostaje jednak ostatnia kwestia. Co zrobić, gdy wykładnik nie jest liczbą naturalną?
Jeszcze raz serdecznie dziękuję.
Po kilku minutach analizowania Twojego wywodu zrozumiałem jak zsumować sumy dowolnych ciągów potęg o wykładnikach naturalnych (bazując na rozpisanej sumie kwadratów).
Pozostaje jednak ostatnia kwestia. Co zrobić, gdy wykładnik nie jest liczbą naturalną?
Jeszcze raz serdecznie dziękuję.