Dowód "nie wprost"

[michaelo]

Witam. Mam maly problem z dowodem nie wprost. Tzn rozumiem go ale wszedzie widze przyklad \(\displaystyle{ \sqrt{2}}\) wiem jak to wtedy bedzie w rownaniu p�=2•q� i ze L≠P bo po prawej stronie mamy nieparzysta ilosc dwójek a po lewej nie mamy zadnej. A jak to wszystko bedzie wygladało w przypadku \(\displaystyle{ \sqrt{5} , \sqrt{10} lub \sqrt{1/3}}\) Czy jak w rowaniu bedzie znowu rozna ilosc odpowiedniej cyfry po lewej i prawej stronie to tez otrzymamy nierownosc? Np. p�=1/3q� -> L≠P ?? Bo wtedy bedzie mi sie to zdawalo za proste.... Oczywisce zakladam ze w karzym przypadku kazda podana liczba ma byc udowodniona jako liczba NW

Czekam na odpowiedzi czy to jest naprawde tak latwo Bo jutro mam z tego kartkowke

Wybaczcie jak pisze w nieodpowiednim dziale ale jestem tu nowy ^^

[Lorek]

Podam ogólny wzór na udowodnienie, że \(\displaystyle{ \sqrt{p}}\) jest liczbą niewymierną, p-liczba pierwsza (chociaż pełno tego w necie, wystarczy dobrze poszukać)
Załóżmy, że \(\displaystyle{ \sqrt{p}\in \mathbb{W}}\)
czyli
\(\displaystyle{ \sqrt{p}=\frac{m}{n},\, \,m,n\in \mathbb{C}\wedge n\neq 0 NWD(m,n)=1\\p=\frac{m^2}{n^2}\\pn^2=m^2\Rightarrow p|m^2 p|m (1^o) m=pt,\, t\in \mathbb{C}\\pn^2=m^2\\pn^2=(pt)^2\\n^2=pt^2 p|n^2 p|n (2^o)\\1^o 2^o NWD(m,n)=p}\)
-sprzeczność
2. co do przypadku
\(\displaystyle{ \sqrt{\frac{1}{3}}=\frac{p}{q}}\)
to
\(\displaystyle{ \frac{1}{3}=\frac{p^2}{q^2}\\q^2=3p^2}\)
a dalej tak jak wyżej

[spajder]

tw. mocniejsze - dla \(\displaystyle{ p\in \mathbb{N}}\) liczba \(\displaystyle{ \sqrt{p}\in \mathbb{Q}}\) wtedy i tylko wtedy, gdy \(\displaystyle{ p}\) jest kwadratem liczby naturalnej.
Dowód tutaj:

[DEXiu]

Co do tw. podanego przez spajdera to taka mała uwaga: można jeszcze nieco wzmocnić pisząc, że \(\displaystyle{ \sqrt{p}\in\mathbb{N}}\) (a ponieważ \(\displaystyle{ \mathbb{N}\subset\mathbb{Q}}\) to oczywiście można napisać, że \(\displaystyle{ \sqrt{p}\in\mathbb{Q}}\))