Która z liczb jest większa?

[tsotsi]

Określić (bez używania kalkulatora ), która z liczb: \(\displaystyle{ \sqrt{2} ^{ \sqrt{3} } ; \sqrt{3} ^{ \sqrt{2} }}\)

[lukasz1804]

Mamy \(\displaystyle{ (\sqrt{3} ^{ \sqrt{2} })^{2\sqrt{3}}=(\sqrt{3})^{2\sqrt{6}}=3^{\sqrt{6}}>3^{\sqrt{4}}=3^2=9>8=2^3=(\sqrt{2})^6=(\sqrt{2} ^{ \sqrt{3} })^{2\sqrt{3}}}\), więc \(\displaystyle{ (\sqrt{3} ^{ \sqrt{2} })^{2\sqrt{3}}>(\sqrt{2} ^{ \sqrt{3} })^{2\sqrt{3}}}\). Ponadto \(\displaystyle{ \sqrt{3}^{\sqrt{2}}>\sqrt{3}^1=\sqrt{3}>1}\) oraz \(\displaystyle{ \sqrt{2}^{\sqrt{3}}>\sqrt{2}^1=\sqrt{2}>1}\). To wobec poprzedniego i monotoniczności funkcji wykładniczej daje \(\displaystyle{ \sqrt{3}^{\sqrt{2}}>\sqrt{2}^{\sqrt{3}}}\).

[PrzeChMatematyk]

a nie łatwiej:

podzielmy jedną przez drugą:

\(\displaystyle{ \frac{\sqrt{2}^{\sqrt{3}}}{\sqrt{3}^{\sqrt{2}}}=\sqrt{2}^{\sqrt{3}} \cdot (\frac{1}{\sqrt{3}})^{\sqrt{2}}}\)

no i tak: pierwiastek stopnia większego od zera z liczby większej od 1 jest większy od 1
więc mamy iloczyn liczby większej od jeden i liczby mniejszej od 1.Czyli liczba jest mniejsza od 1.
z czego wynika ze \(\displaystyle{ \sqrt{3}^{\sqrt{2}}}\) jest większe.

[Althorion]

więc mamy iloczyn liczby większej od jeden i liczby mniejszej od 1.Czyli liczba jest mniejsza od 1.

Nie wystarczy:
\(\displaystyle{ \frac45 \cdot 50 > 1}\)