Pokazać, że \(\displaystyle{ W(x)=(x+1)^{2000}+x^{2000}-x^2-x}\) przyjmuje wartości będące liczbami złożonymi dla każdego \(\displaystyle{ x \in \mathbb{Z}_{+}}\).
Doszedłem do jednego, ale chyba kluczowego wniosku:
Ukryta treść:
Wielomian, st. 2000, zawsze l. złożona
-
patry93
- Użytkownik
- Posty: 1251
- Rejestracja: 30 sty 2007, o 20:22
- Płeć: Mężczyzna
- Lokalizacja: Koziegłówki/Wrocław
- Podziękował: 352 razy
- Pomógł: 33 razy
Wielomian, st. 2000, zawsze l. złożona
Witam.
Pokazać, że \(\displaystyle{ W(x)=(x+1)^{2000}+x^{2000}-x^2-x}\) przyjmuje wartości będące liczbami złożonymi dla każdego \(\displaystyle{ x \in \mathbb{Z}_{+}}\).
Doszedłem do jednego, ale chyba kluczowego wniosku:
Pokazać, że \(\displaystyle{ W(x)=(x+1)^{2000}+x^{2000}-x^2-x}\) przyjmuje wartości będące liczbami złożonymi dla każdego \(\displaystyle{ x \in \mathbb{Z}_{+}}\).
Doszedłem do jednego, ale chyba kluczowego wniosku:
Z góry dziękuję.
-
JakimPL
- Użytkownik
- Posty: 2401
- Rejestracja: 25 mar 2010, o 12:15
- Płeć: Mężczyzna
- Lokalizacja: Katowice
- Podziękował: 43 razy
- Pomógł: 459 razy
Wielomian, st. 2000, zawsze l. złożona
Wyszło mi, że różnica \(\displaystyle{ W(x)-W(x-1)}\) jest liczbą złożoną. Nie wiem, czy to coś pomoże. Nieciekawe jest to \(\displaystyle{ x+1}\) podniesione do potęgi.
Co do tej różnicy, to chyba teraz należy wykazać, że \(\displaystyle{ W(1)}\) jest liczbą złożoną i problem się uprości .
Co do tej różnicy, to chyba teraz należy wykazać, że \(\displaystyle{ W(1)}\) jest liczbą złożoną i problem się uprości .
-
klaustrofob
- Użytkownik
- Posty: 1984
- Rejestracja: 11 lis 2007, o 07:29
- Płeć: Mężczyzna
- Lokalizacja: inowrocław
- Podziękował: 1 raz
- Pomógł: 607 razy
Wielomian, st. 2000, zawsze l. złożona
może nadszedł czas, żeby pouczyć się o liczbach zespolonych? i może to zadanie byłoby dobrą wprawką? spróbuj. pierwiastkami wielomianu \(\displaystyle{ x^2+x+1}\) są liczby \(\displaystyle{ -\frac{1}{2}+\frac{\sqrt{3}}{2}}\) oraz \(\displaystyle{ -\frac{1}{2}-\frac{\sqrt{3}}{2}}\) (oblicza się tak samo jak dla rzeczywistych, wytarczy przyjąć \(\displaystyle{ \sqrt{-1}=i}\)). należałoby zatem sprawdzić, że te liczby są też pierwiastkami badanego wielomianu. podczas rachunków pomocna może być postać trygonometryczna liczby zespolonej.
można też tak: \(\displaystyle{ (x+1)^{2000+x^{2000}-x^2-x=(x+1)^{2000}+x^{2000}+1-x^2-x-1}\) czyli wystarczy uzasadnić, że przez \(\displaystyle{ x^2+x+1}\) podzielny jest wielomian \(\displaystyle{ (x+1)^{2000}+x^{2000}+1}\) niech \(\displaystyle{ p=x^2+x+1}\). wtedy \(\displaystyle{ (x+1)^{2000}=(p+x)^{1000}=\sum p^jx^{1000-j}}\) czyli sporo składników jest podzielnych. koniec końców, wystarczy uzasadnić, że przez p podzielny jest wielomian \(\displaystyle{ x^{2000}+x^{1000}+1}\). to można zrobić indukcyjnie: załóżmy, że dla pewnego n wszystkie wielomiany postaci \(\displaystyle{ x^{2k}+x^k+1}\) do n-1 włącznie są podzielne przez p. dla n mamy \(\displaystyle{ x^{2n}+x^{n}+1=x^{2n}-x^{2n-6}+x^{2n-6}+x^n+x^{n-3}-x^{n-3}+1=(x^{2n}-x^{2n-6})+(x^n-x^{n-3})+x^{2n-6}+x^{n-3}+1}\). już widać podzielność przez p.
------
jak widać, Twoja obserwacja istotnie jest kluczowa
można też tak: \(\displaystyle{ (x+1)^{2000+x^{2000}-x^2-x=(x+1)^{2000}+x^{2000}+1-x^2-x-1}\) czyli wystarczy uzasadnić, że przez \(\displaystyle{ x^2+x+1}\) podzielny jest wielomian \(\displaystyle{ (x+1)^{2000}+x^{2000}+1}\) niech \(\displaystyle{ p=x^2+x+1}\). wtedy \(\displaystyle{ (x+1)^{2000}=(p+x)^{1000}=\sum p^jx^{1000-j}}\) czyli sporo składników jest podzielnych. koniec końców, wystarczy uzasadnić, że przez p podzielny jest wielomian \(\displaystyle{ x^{2000}+x^{1000}+1}\). to można zrobić indukcyjnie: załóżmy, że dla pewnego n wszystkie wielomiany postaci \(\displaystyle{ x^{2k}+x^k+1}\) do n-1 włącznie są podzielne przez p. dla n mamy \(\displaystyle{ x^{2n}+x^{n}+1=x^{2n}-x^{2n-6}+x^{2n-6}+x^n+x^{n-3}-x^{n-3}+1=(x^{2n}-x^{2n-6})+(x^n-x^{n-3})+x^{2n-6}+x^{n-3}+1}\). już widać podzielność przez p.
------
jak widać, Twoja obserwacja istotnie jest kluczowa