Pierwiastek łańcuchowy z pięciu

[openmind]

Witam

Mam taki algorytm:

Kod: Zaznacz cały

pierwiastek5(n)
{
 if (n == 0) return 2
  else
 return (2*pierwiastek5(n-1) + 5) / (pierwiastek5(n-1) + 2)
}

można to też tak zapisać jak ktoś woli:

Kod: Zaznacz cały

pierwiastek5(n)
{
r = 2
for i = 1 to n
  r = (2*r + 5) / (r+2)
return r
}

trzeba udowodnić że \(\displaystyle{ \lim_{n\to \infty } pierwiastek5(n)= \sqrt{5}}\)



Dotarłem do tego że pierwiastek z pięciu można rozpisać jako pierwiastek łańcuchowy.

\(\displaystyle{ 2 + \frac{1}{4 + \frac{1}{4 + ...} } = \sqrt{5}}\)

Jednak dalej nie wiem jak to ugryźć.

Próbowałem też ułożyć równanie rekurencyjne:
\(\displaystyle{ r^{n} = (2 * r^{n-1} + 5) / (r ^{n-1} + 2)}\)

i wyznaczyć wzór na dowolny element ciągu, ale chyba nie za bardzo można tak sobie radzić

[Xitami]

\(\displaystyle{ r=\frac{2r+a}{r+2}\\ \\
r(r+2)=2r+a\\ \\
r^2+2r-2r=a\\ \\
r^2=a}\)

[openmind]

Prosiłbym o mały komentarz o ile to możliwe.

W naszym wypadku a jest równe 4. Tylko nie wiem jak dorobić do tego teorię.

[Mariusz M]

\(\displaystyle{ f(r)=r^2-a}\)

\(\displaystyle{ x_{i+1}=x_{i}- \frac{f(x_{i})}{f'(x_{i})}}\)

[openmind]

Rozgryzłem sposób obliczania, tylko niestety nie umiem znaleźć teorii do tego.

Ma ktoś może linka bądź mógłby napisać skąd się wziął taki wzór na xi.

[Mariusz M]

Rozgryzłem sposób obliczania, tylko niestety nie umiem znaleźć teorii do tego.

Ma ktoś może linka bądź mógłby napisać skąd się wziął taki wzór na xi.

To jest metoda stycznych Newtona