30 | n^5 - n, gdzie ^ to potęga

[blackfluid]

bardzo prawdopodobne, że podobny przykład jest już na forum, ale nie mogłem znaleźć

bardzo proszę o pomoc, bo mam dużo podobnych zadań, niestety zapomniałem jaki jest schemat wykonywania

z góry bardzo dziekuję

[qsiarz]

rozkladasz sobie

n^5-n = n(n^4 - 1) = n(n^2 + 1)(n^2 - 1) = n(n^2 + 1)(n - 1)(n + 1)

no i teraz wystarczy indukcyjnie albo ew. zauwazyc ze iloczyn trzech kolejnych liczb naturalnych i kwadrat tez tam jest.

[DEXiu]

Rozpisujesz to tak jak napisał qsiarz, potem albo indukcyjnie, albo nieco prościej - zauważasz, że iloczyn trzech kolejnych liczb naturalnych \(\displaystyle{ (n-1)n(n+1)}\) jest zawsze podzielny przez 2 i 3 (dlaczego?), a jeśli żadna z tych trzech liczb nie jest podzielna przez 5, to wówczas \(\displaystyle{ n^{2}+1}\) jest podzielne (wykaż to!) - ponieważ 2, 3 i 5 są parami względnie pierwsze (ba - one wszystkie są nie tylko względnie, ale nawet "normalnie" pierwsze ) to liczba, która dzieli się przez każdą z nich musi być także podzielna przez ich iloczyn a \(\displaystyle{ 2\cdot3\cdot5=30}\)

[Tomasz Rużycki]

Mozna tez zauwazyc, ze \(\displaystyle{ n^2+1\equiv n^2-4\pmod 5}\).