Witam serdecznie.
Mam 2 zadania, z którymi nie mogę się uporać, dlatego proszę o naprowadzenie.
(Działanie \(\displaystyle{ \star}\) to splot Dirichleta.)
Zad. 1. Niech \(\displaystyle{ \lambda (n) = (-1)^{\Omega(n)},}\) gdzie \(\displaystyle{ \Omega(n) = \alpha_1 + \dots \alpha _2}\) dla \(\displaystyle{ n = \prod_{k = 1}^{n} p_k^{ \alpha_k}}\) Pokazać, że
\(\displaystyle{ \sum_{n \leq x}\frac{\lambda (n)}{n} = O(1)}\)
Wskazówka: Zastosować \(\displaystyle{ \lambda \star 1 = 1_S}\), gdzie \(\displaystyle{ 1_S(n) = \begin{cases} 1, n \in S \\ 0, n \notin S \end{cases}}\), \(\displaystyle{ S}\) - zbiór kwadratów liczb, \(\displaystyle{ \forall_{n \in \mathbr{N}} 1(n) = 1,}\) \(\displaystyle{ \forall_{n \in \mathbr{N}} 1(n) = 1}\)
Zad. 2. Pokazać, że dla każdego \(\displaystyle{ n \geq 2}\) zachodzi
\(\displaystyle{ \left| \sum_{d=1}^{n} \frac{\mu (d)}{d}\right| < 1.}\)
Wskazówka: Zastosować \(\displaystyle{ \mu \star 1 = \delta}\), \(\displaystyle{ \mu}\) - funkcja Mobiusa, \(\displaystyle{ \delta(n) = \begin{cases} 1, n =1\\ 0, n \neq 1 \end{cases}}\)
Z góry dziękuję za pomoc!