Maksymalny Iloczyn

openmind · Post autor: **openmind** » 28 mar 2010, o 11:04

Witam

Nie wiem czy włożyłem to zadanie do dobrego działu. Jeżeli nie to przepraszam

Zastanawiam się nad pewnym zadaniem:

Przedstaw liczbę 100 jako sumę liczb całkowitych dodatnich, których iloczyn jest największy.

Brakuje mi pomysłów jak dość do tego i w jaki sposób to udowodnić.

Dziękuję za posty

mat_61 · Post autor: **mat_61** » 28 mar 2010, o 11:19

Wskazówka.

Te liczby możesz zapisać jako x oraz (100-x)
Zapisz iloczyn tych liczb i znajdź maksimum otrzymanej funkcji kwadratowej.

openmind · Post autor: **openmind** » 28 mar 2010, o 11:44

Właśnie w zadaniu nie pisze ile ma być tych liczb bo może być też np:

100 : 5 = 20 to mamy 5^20

mat_61 · Post autor: **mat_61** » 28 mar 2010, o 11:46

Wprawdzie 100:5=20 a nie 25 , ale faktycznie nie zwróciłem uwagi, że ilość liczb może być dowolna.

Xitami · Post autor: **Xitami** » 28 mar 2010, o 13:11

32 trójki i czwórka

\(\displaystyle{ 32\cdot3+4=100}\)

\(\displaystyle{ 3^{32}\cdot4=7412080755407364}\)

kto da więcej?

openmind · Post autor: **openmind** » 28 mar 2010, o 14:08

Właśnie kombinowałem z takim rozwiązaniem sprawy, tylko kwestia polega na tym jak to udowodnić

lumi · Post autor: **lumi** » 29 paź 2010, o 11:58

Doszedł ktoś do rozwiązania tego zadania?

bo mam podobno bardzo

openmind · Post autor: **openmind** » 29 paź 2010, o 16:30

Odpowiedź:

x + y = 100
y = 100 - x

f(x) = x*y
f(x) = x*(100-x)

Obliczamy wierzchołek funkcji.

Z tego co pamiętam x wynosi 50 i y też.

bakala12 · Post autor: **bakala12** » 29 paź 2010, o 17:01

Xitami, Na zdrowy rozum masz rację. Ale ja też nie dam rady tego dowieść.

mat_61 · Post autor: **mat_61** » 29 paź 2010, o 17:03

openmind pisze:Właśnie w zadaniu nie pisze ile ma być tych liczb bo może być też np:

100 : 5 = 20 to mamy 5^20

Przecież sam - w odpowiedzi na moją wskazówkę - napisałeś wcześniej, że w zadaniu nie jest napisane ile ma być tych liczb (co akurat jest prawdą). Co się w takim razie zmieniło, że teraz piszesz rozwiązanie właśnie dla dwóch liczb?

openmind · Post autor: **openmind** » 30 paź 2010, o 00:20

mat_61 pisze:
openmind pisze:Właśnie w zadaniu nie pisze ile ma być tych liczb bo może być też np:

100 : 5 = 20 to mamy 5^20

Przecież sam - w odpowiedzi na moją wskazówkę - napisałeś wcześniej, że w zadaniu nie jest napisane ile ma być tych liczb (co akurat jest prawdą). Co się w takim razie zmieniło, że teraz piszesz rozwiązanie właśnie dla dwóch liczb?

Postanowiłem zaryzykować i założyć domyślnie że są tylko dwie. Zadanie udało się zaliczyć bez problemu.

Citizen · Post autor: **Citizen** » 31 paź 2010, o 17:15

Xitami, Twoja odpowiedź jest poprawna. Dowodzi się to w taki sposób, że jeżeli mamy w rozkładzie liczbę większą lub równą 4 to aby zwiększyć iloczyn lepiej nam ją rozłożyć na liczby x,y bo wtedy \(\displaystyle{ xy \ge x+y}\). Najlepiej więc dać same trójki a potem dopełnić 2 albo 4