Czterocyfrowa liczba będąca pełnym kwadratem

[Tristan]

Wyznaczyć liczbę czterocyfrową, która jest pełnym kwadratem i taką, że cyfra tysięcy jest taka sama jak cyfra dziesiątek a cyfra setek jest o jeden większa od cyfry jedności.

Niech szukaną liczbą czterocyfrową będzie \(\displaystyle{ \overline{abcd}=(\overline{ef})^2}\).
Z warunków zadania otrzymuję dwie równości: \(\displaystyle{ a=c, d=b-1}\). Wszystko sprowadza się do równania:
\(\displaystyle{ 101(10a+b)-1=(10e+f)^2}\)
Czy da się rozwiązać to szybciej, niż rozważać 9 możliwych wartości \(\displaystyle{ f}\) ?

[jhiufdbfkjs]

a dobrze myślę, że f� = b-1 ?

nie wiem, może Cię to nakieruje... narazie sama myślę dalej

[Tristan]

Prawie dobrze. Zachodzi kongruencja \(\displaystyle{ f^2 \equiv b-1 ( mod\ 10)}\). I właśnie korzystając z niej i tak należy rozważyć 9 przypadków.

Nikomu się nie chciało, to sam se poradziłem
Wystarczyło zmienić ciut zapis. Mianowicie wiemy, że b=d+1, więc:
\(\displaystyle{ 1000a+100(d+1)+10a+d=(10e+f)^2}\)
\(\displaystyle{ 101(10a+d)+100=(10e+f)^2}\)
\(\displaystyle{ 101(10a+d)=(10e+f)^2 - 10^2}\)
\(\displaystyle{ 101(10a+d)=(10e+f-10)(10e+f+10)}\)
Teraz sprawa bardzo się upraszcza. Ostatecznym rozwiązaniem jest \(\displaystyle{ 8281=91^2}\).