teoria liczb,sprawdz ze..

[malgosia270000]

mam do rozwiązania takie zadanie:
sprawdź,ze jeśli liczba p jest liczba pierwsza to \(\displaystyle{ \pleft( p-\right1)!= \left(p- \right1) \left( mod \left( \right1+2+...+p-1) \right)}\)

zaczęłam sprawdzać kolejno dla liczb pierwszych;

\(\displaystyle{ p=2 \Rightarrow 1!=1=1 \left(mod1 \right)}\)
\(\displaystyle{ p=3 \Rightarrow 2!=2=2 \left( mod3\right)}\)
\(\displaystyle{ p=5 \Rightarrow 4!=24=4 \left( mod10\right)}\)
\(\displaystyle{ p=11 \Rightarrow 10!=3628800=10 \left(mod55 \right)}\)
\(\displaystyle{ p=13 \Rightarrow 12!=479001600=12 \left( mod 78\right)}\)

nie widzę żadnej zależności,i nie wiem co dalej ..

[mol_ksiazkowy]

Zacznij od tego iż \(\displaystyle{ 1+2+...+p-1 =\frac{p(p-1)}{2}}\)

[klaustrofob]

i wykorzystaj tw. Wilsona.

[malgosia270000]

hmm... tw Wilsona mówi,że \(\displaystyle{ \left( p-1\right)! =-1 \left( mod p\right)}\),a mam pokazać ze \(\displaystyle{ \left(p-1 \right)!= \left( p-1\right) \left( mod \frac{p \left( p-1\right) }{2} \right)}\),czyli z tw.wilsona wynika ze \(\displaystyle{ p|\left(p-1 \right)!+1 \Rightarrow p-1| \left( p-2\right)!+1}\) stad \(\displaystyle{ \frac{p \left( p-1\right) }{2}| \left(\left( \frac{p}{2} -1\right)! +1 \right)\left( \left( p-2\right) !+1\right)}\)...ale coś jest źle bo nie wychodzi...może ktoś pomoże jak zacząć

[klaustrofob]

ale również 0=p (mod p). dodajesz stronami i masz przystawanie obu stron modulo p. potem wystarczy tylko udowodnić, że obie strony przystają modulo (p-1)/2.