róznica kwadratów, wykaż:
-
mol_ksiazkowy
- Użytkownik
- Posty: 11415
- Rejestracja: 9 maja 2006, o 12:35
- Płeć: Mężczyzna
- Lokalizacja: Kraków
- Podziękował: 3155 razy
- Pomógł: 748 razy
róznica kwadratów, wykaż:
\(\displaystyle{ 11.....11 - 22.....22 =33.....33^2}\) , 2n jedynek , n dwojek i n trojek
-
Lorek
- Użytkownik
- Posty: 7150
- Rejestracja: 2 sty 2006, o 22:17
- Płeć: Mężczyzna
- Lokalizacja: Ruda Śląska
- Podziękował: 1 raz
- Pomógł: 1322 razy
róznica kwadratów, wykaż:
To równanie
\(\displaystyle{ \large\underbrace{11...11}_{2n}-\underbrace{22..22}_{n}={\underbrace{33..33}_{n}}^2}\)
jest równoważne takiemu
\(\displaystyle{ \large\underbrace{11...11}_{2n}-\underbrace{22..22}_{n}-{\underbrace{33..33}_{n}}^2=0\\\large\underbrace{11...11}_{2n}-\underbrace{22..22}_{n}-{\underbrace{33..33}_{n}}^2=(10^n+1)\cdot\underbrace{11..11}_{n}-2\cdot\underbrace{11..11}_{n}-{(3\cdot\underbrace{11..11}_{n})}^2=(10^n+1)\cdot\underbrace{11..11}_{n}-2\cdot\underbrace{11..11}_{n}-{\underbrace{11..11}_{n}}\cdot{9\cdot\underbrace{11..11}_{n}}=\\\large=\underbrace{11..11}_{n}(10^n+1-2-9\cdot\underbrace{11..11}_{n})=\underbrace{11..11}_{n}(9\cdot\underbrace{11..11}_{n}-9\cdot\underbrace{11..11}_{n})=0}\)
\(\displaystyle{ \large\underbrace{11...11}_{2n}-\underbrace{22..22}_{n}={\underbrace{33..33}_{n}}^2}\)
jest równoważne takiemu
\(\displaystyle{ \large\underbrace{11...11}_{2n}-\underbrace{22..22}_{n}-{\underbrace{33..33}_{n}}^2=0\\\large\underbrace{11...11}_{2n}-\underbrace{22..22}_{n}-{\underbrace{33..33}_{n}}^2=(10^n+1)\cdot\underbrace{11..11}_{n}-2\cdot\underbrace{11..11}_{n}-{(3\cdot\underbrace{11..11}_{n})}^2=(10^n+1)\cdot\underbrace{11..11}_{n}-2\cdot\underbrace{11..11}_{n}-{\underbrace{11..11}_{n}}\cdot{9\cdot\underbrace{11..11}_{n}}=\\\large=\underbrace{11..11}_{n}(10^n+1-2-9\cdot\underbrace{11..11}_{n})=\underbrace{11..11}_{n}(9\cdot\underbrace{11..11}_{n}-9\cdot\underbrace{11..11}_{n})=0}\)