liczba zer na końcu 1 000 000!

[cienkibolek]

ile jest zer na końcu liczby \(\displaystyle{ 1 000 000!}\)

[Qń]

Lemat
Liczba pierwsza \(\displaystyle{ p}\) występuje w rozkładzie liczby \(\displaystyle{ n!}\) na czynniki pierwsze z wykładnikiem:

\(\displaystyle{ \left[\frac{n}{p} \right] + \left[\frac{n}{p^2} \right] + \left[\frac{n}{p^3} \right] + \dots}\)

(\(\displaystyle{ \left[ x \right]}\) to część całkowita liczby \(\displaystyle{ x}\))

(suma jest skończona, bo od pewnego miejsca zawsze mamy same zera)

Wystarczy teraz zauważyć, że \(\displaystyle{ 1000000!}\) ma na końcu tyle zer jaki jest wykładnik z którym pojawia się piątka w jej rozkładzie na czynniki pierwsze. Czyli:

\(\displaystyle{ \left[\frac{1000000}{5} \right] + \left[\frac{1000000}{5^2} \right] + \left[\frac{100000}{5^3} \right] + \dots = \dots}\)

Q.

[cienkibolek]

dziękuję bardzo

w międzyczasie sam sobie rozwiązałem, no i sposób identyczny