Liczba niewymierna a systemy liczbowe

Podzielność. Reszty z dzielenia. Kongruencje. Systemy pozycyjne. Równania diofantyczne. Liczby pierwsze i względnie pierwsze. NWW i NWD.
_adam_
Użytkownik
Użytkownik
Posty: 19
Rejestracja: 26 cze 2009, o 16:04
Płeć: Mężczyzna

Liczba niewymierna a systemy liczbowe

Post autor: _adam_ » 20 mar 2010, o 19:01

Czy istnieje taka liczba niewymierna w systemie dziesiętnym, która w innym systemie liczbowym jest wymierna?
Jeśli tak, to proszę o podanie przykładu takiej liczby i systemu liczbowego w którym jest ona wymierna.
Rekrutacja Instytut Matematyczny, Uniwersytet Wrocławski (gif)

Cutlass
Użytkownik
Użytkownik
Posty: 42
Rejestracja: 23 sie 2013, o 15:33
Płeć: Mężczyzna
Podziękował: 2 razy
Pomógł: 6 razy

Liczba niewymierna a systemy liczbowe

Post autor: Cutlass » 23 sie 2013, o 16:08

Jeśli dobrze rozumiem, to pytasz czy rozwinięcie pewnej liczby niewymiernej w systemie dziesiętnym przykładowo:
\(\displaystyle{ 0,c_{1}c_{2}c_{3}\dots}\)
zinterpretowane w systemie o innej (wyższej) podstawie będzie odpowiadało pewnej liczbie wymiernej? Nie istnieje taka liczba, gdyż liczba jest wymierna wtedy i tylko wtedy, gdy (jej część ułamkowa) jest ułamkiem okresowym (bądź skończonym) w dowolnym systemie pozycyjnym o podstawie naturalnej \(\displaystyle{ L>1}\). A więc jeśli mamy liczbę niewymierną w systemie dziesiętnym, to jej rozwinięcie jest nieskończone i nieokresowe i wtedy widziane w każdym innym systemie to rozwinięcie nadal będzie nieskończone nieokresowe, więc nie będzie mogło ono reprezentować liczby wymiernej.
Ostatnio zmieniony 23 sie 2013, o 16:26 przez bakala12, łącznie zmieniany 1 raz.
Powód: Poprawa wiadomości.

ODPOWIEDZ