trzy zadania z liczbami pierwszymi

[Ice12]

1.Korzystając z Małego Twierdzenia Fermata wykaż, że liczba \(\displaystyle{ 5^{12}-1}\) jest podzielna przez 182
2.Wyznacz wszystkie liczby naturalne \(\displaystyle{ n}\) takie, że liczby \(\displaystyle{ 2^{n}-1, 2^{n}+1}\) są liczbami pierwszymi.
3.Wyznacz wszystkie liczby naturalne \(\displaystyle{ n}\). dla których liczba \(\displaystyle{ 4n^{4}+1}\) jest liczbą pierwszą.

Prosiłbym o obliczenia albo tłumaczenie, a nie o sam wynik. Z góry dziękuję.

[meninio]

Ad.3

\(\displaystyle{ p=4n^4+1=(2n^2+1)^2-4n^2=(2n^2-2n+1)(2n^2+2n+1)}\)

Skoro liczba \(\displaystyle{ p}\) ma być pierwsza to jej dzielnikami są liczby 1 i \(\displaystyle{ p}\), z tego wynika, że:

\(\displaystyle{ \begin{cases} 2n^2-2n+1=1 \\ 2n^2+2n+1=p \end{cases} \Rightarrow \begin{cases} n=1 \\ p=5 \end{cases}}\)

[Qń]

Ad 1.
Wskazówka: z małego tw. Fermata mamy \(\displaystyle{ 13| (5^{12}-1)}\) oraz \(\displaystyle{ 7 | (5^6-1)}\) (a \(\displaystyle{ 5^{12}-1= (5^6-1)(5^6+1)}\)).

Ad 2.
Wskazówka: spróbuj wykazać, że któraś z tych liczb musi być podzielna przez trzy (dla dowolnego \(\displaystyle{ n}\))

Q.

[Ice12]

Prosiłbym o rozwinięcie podpunktu 2. bo nie bardzo go rozumiem.

[smigol]

rozpatrz 2 przypadki:
1/ 2 dzieli n
2/ 2 nie dzieli n
.

[Ice12]

Dalej nie rozumiem jak mam zapisać punkt drugi symbolicznie. Zauważam pewne powtarzające się schematy, ale nie wiem jak to wytłumaczyć. Prosiłbym o rozpisanie

[xanowron]

Nie musisz mieć całego zadania zapisanego symbolami matematycznymi i wzorami, czasem wystarczy napisać kilka mądrych zdań i po sprawie.

[Ice12]

ok ale nie wiem czy dobrze rozumiem to zadanie. Napisałem dwa posty wyżej że nie wiem jak to wytłumaczyć. Dlatego mogło być też tłumaczenie zamiast symboli.

[smigol]

2^n nie może dzielić się przez 3 zatem jest postaci ... albo ..., zatem:...

[Qń]

Można też tak: \(\displaystyle{ 2^n-1,2^n,2^n+1}\) to trzy kolejne liczby naturalne, zatem wśród nich jest jedna podzielna przez trzy.

Q.