Podzielność przez 81, suma sumy sumy cyfr

Podzielność. Reszty z dzielenia. Kongruencje. Systemy pozycyjne. Równania diofantyczne. Liczby pierwsze i względnie pierwsze. NWW i NWD.
patry93
Użytkownik
Użytkownik
Posty: 1251
Rejestracja: 30 sty 2007, o 20:22
Płeć: Mężczyzna
Lokalizacja: Koziegłówki/Wrocław
Podziękował: 352 razy
Pomógł: 33 razy

Podzielność przez 81, suma sumy sumy cyfr

Post autor: patry93 »

Witam.

1. Dowieść, że \(\displaystyle{ 81 | \underbrace{1111 \ldots 1}_{81}}\)
2. Niech \(\displaystyle{ a=4444^{4444}}\) oraz oznaczamy przez\(\displaystyle{ A}\) sumę cyfr liczby \(\displaystyle{ a}\), przez \(\displaystyle{ B}\) sumę cyfr liczby \(\displaystyle{ A}\), przez \(\displaystyle{ C}\) sumę cyfr liczby \(\displaystyle{ B}\). Ile wynosi \(\displaystyle{ C}\)?

Pozdrawiam.
Awatar użytkownika
smigol
Użytkownik
Użytkownik
Posty: 3454
Rejestracja: 20 paź 2007, o 23:10
Płeć: Mężczyzna
Lokalizacja: Warszawa
Podziękował: 89 razy
Pomógł: 353 razy

Podzielność przez 81, suma sumy sumy cyfr

Post autor: smigol »

A jest mniejsze od 5*9*4444
Zatem B jest mniejsze od 6*9=54.
liczba o największej sumie cyfr i mniejsza od 54 to 49, czyli C jest mniejsze od 13.

Dalej pewnie dasz radę.


co do pierwszego to liczba składająca się z 81 jedynek jest podzielna przez 9. Po podzieleniu tej liczby będziemy mieli 9 segmentów z 1234567890 (i w ostatnim segmencie bez jednego 0) (chyba:P)

Nic innego póki co nie widzę ;d
patry93
Użytkownik
Użytkownik
Posty: 1251
Rejestracja: 30 sty 2007, o 20:22
Płeć: Mężczyzna
Lokalizacja: Koziegłówki/Wrocław
Podziękował: 352 razy
Pomógł: 33 razy

Podzielność przez 81, suma sumy sumy cyfr

Post autor: patry93 »

Hm, w 1. wypadałoby to jednak udowodnić

Co do 2. to robiłem podobnie (jeśli nie tak samo), tj. \(\displaystyle{ 4444^{4444} < 10000^{4444}=10^{17776}}\), więc \(\displaystyle{ A \le 9 \cdot 17776 = 199984}\), więc dalej wniosek ten sam, że \(\displaystyle{ B \le 9 \cdot 6=54}\) i \(\displaystyle{ C \le 13}\), choć szczerze mówiąc, nie wiem co dalej.
Awatar użytkownika
smigol
Użytkownik
Użytkownik
Posty: 3454
Rejestracja: 20 paź 2007, o 23:10
Płeć: Mężczyzna
Lokalizacja: Warszawa
Podziękował: 89 razy
Pomógł: 353 razy

Podzielność przez 81, suma sumy sumy cyfr

Post autor: smigol »

popatrz na podzielność przez 9 (albo resztę z dzielenia przez 9).
bosa_Nike
Użytkownik
Użytkownik
Posty: 1660
Rejestracja: 16 cze 2006, o 15:40
Płeć: Kobieta
Podziękował: 70 razy
Pomógł: 445 razy

Podzielność przez 81, suma sumy sumy cyfr

Post autor: bosa_Nike »

1. Dla \(\displaystyle{ n>1,\ n,a,b\in\mathbb{Z}^+}\) jest \(\displaystyle{ a|b\ \Leftrightarrow\ \left( n^a-1\right)|\left(n^b-1\right)}\). Potrzebujemy wykazać tylko implikację w prawo: gdy \(\displaystyle{ b=ka,\ n^a=t,\ k\in\mathbb{Z}^+}\), to \(\displaystyle{ t^k-1=(t-1)\cdot\left(t^{k-1}+t^{k-2}+...+1\right)}\), koniec.

Na tej podstawie, przyjmując \(\displaystyle{ n=10,\ a=9,\ b=81}\), mamy \(\displaystyle{ \left(10^9-1\right)|\left(10^{81}-1\right)}\).

Wiemy, że \(\displaystyle{ 10^9-1=9\cdot 111111111}\). Pozostaje skorzystać z cechy podzielności przez \(\displaystyle{ 9}\) i przechodniości, tzn. \(\displaystyle{ \left((p|q)\ \wedge\ (q|r)\right)\ \Rightarrow\ p|r}\).

2. Jakby co, to szukaj w kółku w temacie freja z zadaniami p. Pawłowskiego. W każdym razie trzeba skorzystać z faktu, że liczba daje taką samą resztę z dzielenia przez \(\displaystyle{ 9}\), jak suma jej cyfr (i na odwrót).

EDIT: Darn, co ja za bzdury tu napisałam w pierwszym, a właściwie to nie dokończyłam tego zadania... Poprawka poniżej.

Mamy zatem:

\(\displaystyle{ 10^{81}-1=\left(10^9-1\right)\cdot\left(10^{8\cdot 9}+10^{7\cdot 9}+....+10^9+1\right)=\\ 10^{81}-1=9\cdot 111111111\cdot\left(10^{8\cdot 9}+10^{7\cdot 9}+....+10^9+1\right)}\)

Z cechy podzielności przez \(\displaystyle{ 9}\) jest \(\displaystyle{ 111111111=9r}\)

Ponieważ w nawiasie jest liczba, w której są same zera i jedynki, a jedynek jest \(\displaystyle{ 9}\), to mamy:

\(\displaystyle{ 10^{8\cdot 9}+10^{7\cdot 9}+....+10^9+1\right=9s}\)

Ostatecznie: \(\displaystyle{ 10^{81}-1=9\cdot 9r\cdot 9s\ \Rightarrow\ \underbrace{111...111}_{81}=\frac{10^{81}-1}{9}=81rs}\)
Ostatnio zmieniony 18 mar 2010, o 22:34 przez bosa_Nike, łącznie zmieniany 1 raz.
Awatar użytkownika
smigol
Użytkownik
Użytkownik
Posty: 3454
Rejestracja: 20 paź 2007, o 23:10
Płeć: Mężczyzna
Lokalizacja: Warszawa
Podziękował: 89 razy
Pomógł: 353 razy

Podzielność przez 81, suma sumy sumy cyfr

Post autor: smigol »

bosa_Nike, mówisz o topicu z suplementem KMDO czy jakim? Bo w suplemencie nie mogę tego znaleźć.
bosa_Nike
Użytkownik
Użytkownik
Posty: 1660
Rejestracja: 16 cze 2006, o 15:40
Płeć: Kobieta
Podziękował: 70 razy
Pomógł: 445 razy

Podzielność przez 81, suma sumy sumy cyfr

Post autor: bosa_Nike »

Tak, zadanie 48 - nie to samo, ale podobne.
ODPOWIEDZ