Udowodnij,ze dla każdej liczby naturalnej n i każdej liczby naturalnej nieparzystej k zachodzi podzielność 1+2+3+...+n dzieli \(\displaystyle{ 1^{k}}\) + \(\displaystyle{ 2 ^{k}}\) +...+ \(\displaystyle{ n^{k}}\)
Wskazówka:rozpisać \(\displaystyle{ a^{k}}\) + \(\displaystyle{ b ^{k}}\)
p.s. dziękuje za jakąkolwiek pomoc.
udowodnij podzielność
-
malgosia270000
- Użytkownik
- Posty: 6
- Rejestracja: 17 mar 2010, o 23:59
- Płeć: Kobieta
- Lokalizacja: Warszawa
- Podziękował: 1 raz
-
klaustrofob
- Użytkownik
- Posty: 1984
- Rejestracja: 11 lis 2007, o 07:29
- Płeć: Mężczyzna
- Lokalizacja: inowrocław
- Podziękował: 1 raz
- Pomógł: 607 razy
udowodnij podzielność
siermiężne to uzasadnienie, ale...
\(\displaystyle{ 1+2+...+n=\frac{n(n+1)}{2}}\) niech n będzie parzyste. wykażę, że \(\displaystyle{ 1^k+2^k+\ldots+ n^k}\) jest podzielne przez n/2 oraz przez n+1, a ponieważ liczby te są względnie pierwsze (bo n i n+1 są), to całość podzieli się przez ich iloczyn. mamy: \(\displaystyle{ 1^k+2^k+\ldots+ n^k=((n-1)^k+1^k)+((n-2)^k+2^k)+\ldots +((\frac{n}{2}-1)^k+(\frac{n}{2}+1)^k)+(\frac{n}{2})^k+n^k}\) ostatnie dwa składniki się dzielą, pierwsze grupowane parami też, bo \(\displaystyle{ (n-i)^k+i^k=(n-i+i)((n-i)^{k-1}+\ldots)}\) podzielność przez n+1 wynika z innego pogrupowania: \(\displaystyle{ 1^k+2^k+\ldots+ n^k=(n^k+1^k)+((n-1)^k+2^k)+\ldots +((\frac{n}{2})^k+(\frac{n}{2}+1)^k))}\) i wykorzystania wskazówki.
jeżeli n jest nieparzyste, to n+1 jest parzyste i wtedy można udowodnić, ze odpowiednia suma jest podzielna przez (n+1)/2 oraz przez n.
\(\displaystyle{ 1+2+...+n=\frac{n(n+1)}{2}}\) niech n będzie parzyste. wykażę, że \(\displaystyle{ 1^k+2^k+\ldots+ n^k}\) jest podzielne przez n/2 oraz przez n+1, a ponieważ liczby te są względnie pierwsze (bo n i n+1 są), to całość podzieli się przez ich iloczyn. mamy: \(\displaystyle{ 1^k+2^k+\ldots+ n^k=((n-1)^k+1^k)+((n-2)^k+2^k)+\ldots +((\frac{n}{2}-1)^k+(\frac{n}{2}+1)^k)+(\frac{n}{2})^k+n^k}\) ostatnie dwa składniki się dzielą, pierwsze grupowane parami też, bo \(\displaystyle{ (n-i)^k+i^k=(n-i+i)((n-i)^{k-1}+\ldots)}\) podzielność przez n+1 wynika z innego pogrupowania: \(\displaystyle{ 1^k+2^k+\ldots+ n^k=(n^k+1^k)+((n-1)^k+2^k)+\ldots +((\frac{n}{2})^k+(\frac{n}{2}+1)^k))}\) i wykorzystania wskazówki.
jeżeli n jest nieparzyste, to n+1 jest parzyste i wtedy można udowodnić, ze odpowiednia suma jest podzielna przez (n+1)/2 oraz przez n.