Musztari - problem z zadaniami
-
- Użytkownik
- Posty: 18
- Rejestracja: 13 mar 2010, o 20:31
- Płeć: Mężczyzna
- Lokalizacja: Tarnów
- Pomógł: 1 raz
Musztari - problem z zadaniami
Bardzo proszę o pomoc z następującymi zadankami:
1:
Znajdź wszystkie liczby naturalne n, dla których następujący ułamek jest skracalny \(\displaystyle{ \frac{111n + 50}{64n + 29}}\)
2:
Niech \(\displaystyle{ p(x)}\) będzie wielomianem o współczynnikach całkowitych, i niech \(\displaystyle{ a}\) i \(\displaystyle{ b}\) będą liczbami całkowitymi dla których \(\displaystyle{ \left|p(a) - p(b) \right| = 1}\). Pokaż, że \(\displaystyle{ \left| a - b\right| = 1}\)
3:
Wykaż, że wielomianu \(\displaystyle{ p(x,y) = x^{200}y^{200} + 1}\) zmiennych x i y nie można przedstawić w postaci iloczynu dwóch wielomianów: jednego zależnego tylko od x, a drugiego od y.
4:
Znajdź wszystkie wielomiany \(\displaystyle{ p(x)}\) dla których zachodzi następująca tożsamość: \(\displaystyle{ (x - 26)p(x) = xp(x - 1)}\)
dla każdej liczby rzeczywistej x.
Te zadanie mnie nurtują, siedzę nad nimi prawie cały dzień i ani rusz do przodu, z góry dziękuję za pomoc
1:
Znajdź wszystkie liczby naturalne n, dla których następujący ułamek jest skracalny \(\displaystyle{ \frac{111n + 50}{64n + 29}}\)
2:
Niech \(\displaystyle{ p(x)}\) będzie wielomianem o współczynnikach całkowitych, i niech \(\displaystyle{ a}\) i \(\displaystyle{ b}\) będą liczbami całkowitymi dla których \(\displaystyle{ \left|p(a) - p(b) \right| = 1}\). Pokaż, że \(\displaystyle{ \left| a - b\right| = 1}\)
3:
Wykaż, że wielomianu \(\displaystyle{ p(x,y) = x^{200}y^{200} + 1}\) zmiennych x i y nie można przedstawić w postaci iloczynu dwóch wielomianów: jednego zależnego tylko od x, a drugiego od y.
4:
Znajdź wszystkie wielomiany \(\displaystyle{ p(x)}\) dla których zachodzi następująca tożsamość: \(\displaystyle{ (x - 26)p(x) = xp(x - 1)}\)
dla każdej liczby rzeczywistej x.
Te zadanie mnie nurtują, siedzę nad nimi prawie cały dzień i ani rusz do przodu, z góry dziękuję za pomoc
- mol_ksiazkowy
- Użytkownik
- Posty: 11409
- Rejestracja: 9 maja 2006, o 12:35
- Płeć: Mężczyzna
- Lokalizacja: Kraków
- Podziękował: 3155 razy
- Pomógł: 748 razy
Musztari - problem z zadaniami
3 Jesli \(\displaystyle{ x^{200}y^{200}+1= P(x)Q(y)}\), to \(\displaystyle{ 1= P(x)Q(0)}\) tj P jest wielomianem stałym , podobnie Q, sprzecznosc
- smigol
- Użytkownik
- Posty: 3454
- Rejestracja: 20 paź 2007, o 23:10
- Płeć: Mężczyzna
- Lokalizacja: Warszawa
- Podziękował: 89 razy
- Pomógł: 353 razy
Musztari - problem z zadaniami
4. Podstaw kolejno 0,1,2,...,25a zobaczysz, ze pierwiastkami są 0,1,2,3,...,25.
czyli w jakiej postaci można przestawić p(x)?
2. Wiemy, że \(\displaystyle{ a-b|p(a)-p(b)}\)
jeśli p to wielomian o wsp. całkowitych, oraz a i b są całkowite,
1. Było kilka razy na forum.
czyli w jakiej postaci można przestawić p(x)?
2. Wiemy, że \(\displaystyle{ a-b|p(a)-p(b)}\)
jeśli p to wielomian o wsp. całkowitych, oraz a i b są całkowite,
1. Było kilka razy na forum.
-
- Użytkownik
- Posty: 18
- Rejestracja: 13 mar 2010, o 20:31
- Płeć: Mężczyzna
- Lokalizacja: Tarnów
- Pomógł: 1 raz
Musztari - problem z zadaniami
Dzięki wielkie Już mniej więcej wiem o co w nich chodzi ale jeszcze takie pytania:
Dlaczego za y podstawiam 0, czy też bym udowodnił że jest to wielomian stały podstawiając jakąś inną liczbę?
I taką mam jeszcze prośbę, jak mam rozłożyć ten wielomian na dwa czynniki: \(\displaystyle{ x^{1985} + x + 1}\) Kombinowałem i nic sensownego nie wykombinowałem, na pewno jest na to jakiś sprytny sposób, jak już było o tym na forum to sorry że jeszcze raz piszę ale nigdzie tego nie znalazłem rozwiązanego:)
Dlaczego za y podstawiam 0, czy też bym udowodnił że jest to wielomian stały podstawiając jakąś inną liczbę?
I taką mam jeszcze prośbę, jak mam rozłożyć ten wielomian na dwa czynniki: \(\displaystyle{ x^{1985} + x + 1}\) Kombinowałem i nic sensownego nie wykombinowałem, na pewno jest na to jakiś sprytny sposób, jak już było o tym na forum to sorry że jeszcze raz piszę ale nigdzie tego nie znalazłem rozwiązanego:)
-
- Użytkownik
- Posty: 1251
- Rejestracja: 30 sty 2007, o 20:22
- Płeć: Mężczyzna
- Lokalizacja: Koziegłówki/Wrocław
- Podziękował: 352 razy
- Pomógł: 33 razy
Musztari - problem z zadaniami
Ponieważ jeśli podstawisz inną liczbę, to nie "zniknie" Ci zmienna "y", więc nadal będziesz miał zależność od dwóch zmiennych (x, y), a my dążymy tak jakby do "dowodu nie wprost", chociaż w zasadzie nim nie jestDlaczego za y podstawiam 0, czy też bym udowodnił że jest to wielomian stały podstawiając jakąś inną liczbę?
-
- Użytkownik
- Posty: 18
- Rejestracja: 13 mar 2010, o 20:31
- Płeć: Mężczyzna
- Lokalizacja: Tarnów
- Pomógł: 1 raz
Musztari - problem z zadaniami
Robiłem tak ale utknąłem na pewnym etapie, napisze jakie było moje rozumowanie:
\(\displaystyle{ x^{1985} + x + 1 = (x^{661})^3x^{2} - x^{2} + x^{2} + x + 1 = x^{2}[(x^{661})^3 - 1] + x^{2} + x + 1 = x^{2}(x^{661} - 1)[(x^{2})^{661} + x^{661} + 1] + x^{2} + x + 1}\)
Nie wiem czy moje rozumowanie jest słuszne czy nie, ale w tym właśnie punkcie utknąłem
\(\displaystyle{ x^{1985} + x + 1 = (x^{661})^3x^{2} - x^{2} + x^{2} + x + 1 = x^{2}[(x^{661})^3 - 1] + x^{2} + x + 1 = x^{2}(x^{661} - 1)[(x^{2})^{661} + x^{661} + 1] + x^{2} + x + 1}\)
Nie wiem czy moje rozumowanie jest słuszne czy nie, ale w tym właśnie punkcie utknąłem
- smigol
- Użytkownik
- Posty: 3454
- Rejestracja: 20 paź 2007, o 23:10
- Płeć: Mężczyzna
- Lokalizacja: Warszawa
- Podziękował: 89 razy
- Pomógł: 353 razy
Musztari - problem z zadaniami
Dla ułatwienia: \(\displaystyle{ x^3=a}\)
\(\displaystyle{ \left( x^3 \right)^{661}-1=a^{661}-1}\)
I teraz ze wzoru skróconego mnożenia.
\(\displaystyle{ \left( x^3 \right)^{661}-1=a^{661}-1}\)
I teraz ze wzoru skróconego mnożenia.
-
- Użytkownik
- Posty: 18
- Rejestracja: 13 mar 2010, o 20:31
- Płeć: Mężczyzna
- Lokalizacja: Tarnów
- Pomógł: 1 raz
Musztari - problem z zadaniami
No jasne, dzięki xD Jak na to zadanie patrzę to takie proste mi się wydaje terazsmigol pisze:Dla ułatwienia: \(\displaystyle{ x^3=a}\)
\(\displaystyle{ \left( x^3 \right)^{661}-1=a^{661}-1}\)
I teraz ze wzoru skróconego mnożenia.
-
- Użytkownik
- Posty: 18
- Rejestracja: 13 mar 2010, o 20:31
- Płeć: Mężczyzna
- Lokalizacja: Tarnów
- Pomógł: 1 raz
Musztari - problem z zadaniami
No niestety mam z kolejnym zadaniem kłopot
Trzycyfrowa liczba abc jest liczba pierwszą, wykaż, że
\(\displaystyle{ b^{2} -4ac}\) nie może być pełnym kwadratem liczby naturalnej.
Proszę o jakąś podpowiedź co mogę zrobić. Uzyskałem równanie \(\displaystyle{ 100a + 10b + c = abc}\)
Założyłem, że równanie zachodzi. \(\displaystyle{ 100a + 10b + c = a(10 - \frac{ -b - \sqrt{ \Delta} }{2a})(10 - \frac{ -b + \sqrt{ \Delta} }{2a})}\)
Co mam dalej robić??
Trzycyfrowa liczba abc jest liczba pierwszą, wykaż, że
\(\displaystyle{ b^{2} -4ac}\) nie może być pełnym kwadratem liczby naturalnej.
Proszę o jakąś podpowiedź co mogę zrobić. Uzyskałem równanie \(\displaystyle{ 100a + 10b + c = abc}\)
Założyłem, że równanie zachodzi. \(\displaystyle{ 100a + 10b + c = a(10 - \frac{ -b - \sqrt{ \Delta} }{2a})(10 - \frac{ -b + \sqrt{ \Delta} }{2a})}\)
Co mam dalej robić??