Musztari - problem z zadaniami

Podzielność. Reszty z dzielenia. Kongruencje. Systemy pozycyjne. Równania diofantyczne. Liczby pierwsze i względnie pierwsze. NWW i NWD.
iroki
Użytkownik
Użytkownik
Posty: 18
Rejestracja: 13 mar 2010, o 20:31
Płeć: Mężczyzna
Lokalizacja: Tarnów
Pomógł: 1 raz

Musztari - problem z zadaniami

Post autor: iroki »

Bardzo proszę o pomoc z następującymi zadankami:

1:
Znajdź wszystkie liczby naturalne n, dla których następujący ułamek jest skracalny \(\displaystyle{ \frac{111n + 50}{64n + 29}}\)

2:
Niech \(\displaystyle{ p(x)}\) będzie wielomianem o współczynnikach całkowitych, i niech \(\displaystyle{ a}\) i \(\displaystyle{ b}\) będą liczbami całkowitymi dla których \(\displaystyle{ \left|p(a) - p(b) \right| = 1}\). Pokaż, że \(\displaystyle{ \left| a - b\right| = 1}\)

3:
Wykaż, że wielomianu \(\displaystyle{ p(x,y) = x^{200}y^{200} + 1}\) zmiennych x i y nie można przedstawić w postaci iloczynu dwóch wielomianów: jednego zależnego tylko od x, a drugiego od y.

4:
Znajdź wszystkie wielomiany \(\displaystyle{ p(x)}\) dla których zachodzi następująca tożsamość: \(\displaystyle{ (x - 26)p(x) = xp(x - 1)}\)
dla każdej liczby rzeczywistej x.



Te zadanie mnie nurtują, siedzę nad nimi prawie cały dzień i ani rusz do przodu, z góry dziękuję za pomoc
Awatar użytkownika
mol_ksiazkowy
Użytkownik
Użytkownik
Posty: 11265
Rejestracja: 9 maja 2006, o 12:35
Płeć: Mężczyzna
Lokalizacja: Kraków
Podziękował: 3143 razy
Pomógł: 747 razy

Musztari - problem z zadaniami

Post autor: mol_ksiazkowy »

3 Jesli \(\displaystyle{ x^{200}y^{200}+1= P(x)Q(y)}\), to \(\displaystyle{ 1= P(x)Q(0)}\) tj P jest wielomianem stałym , podobnie Q, sprzecznosc
Awatar użytkownika
smigol
Użytkownik
Użytkownik
Posty: 3454
Rejestracja: 20 paź 2007, o 23:10
Płeć: Mężczyzna
Lokalizacja: Warszawa
Podziękował: 89 razy
Pomógł: 353 razy

Musztari - problem z zadaniami

Post autor: smigol »

4. Podstaw kolejno 0,1,2,...,25a zobaczysz, ze pierwiastkami są 0,1,2,3,...,25.
czyli w jakiej postaci można przestawić p(x)?

2. Wiemy, że \(\displaystyle{ a-b|p(a)-p(b)}\)
jeśli p to wielomian o wsp. całkowitych, oraz a i b są całkowite,

1. Było kilka razy na forum.
iroki
Użytkownik
Użytkownik
Posty: 18
Rejestracja: 13 mar 2010, o 20:31
Płeć: Mężczyzna
Lokalizacja: Tarnów
Pomógł: 1 raz

Musztari - problem z zadaniami

Post autor: iroki »

Dzięki wielkie Już mniej więcej wiem o co w nich chodzi ale jeszcze takie pytania:

Dlaczego za y podstawiam 0, czy też bym udowodnił że jest to wielomian stały podstawiając jakąś inną liczbę?


I taką mam jeszcze prośbę, jak mam rozłożyć ten wielomian na dwa czynniki: \(\displaystyle{ x^{1985} + x + 1}\) Kombinowałem i nic sensownego nie wykombinowałem, na pewno jest na to jakiś sprytny sposób, jak już było o tym na forum to sorry że jeszcze raz piszę ale nigdzie tego nie znalazłem rozwiązanego:)
patry93
Użytkownik
Użytkownik
Posty: 1251
Rejestracja: 30 sty 2007, o 20:22
Płeć: Mężczyzna
Lokalizacja: Koziegłówki/Wrocław
Podziękował: 352 razy
Pomógł: 33 razy

Musztari - problem z zadaniami

Post autor: patry93 »

Dlaczego za y podstawiam 0, czy też bym udowodnił że jest to wielomian stały podstawiając jakąś inną liczbę?
Ponieważ jeśli podstawisz inną liczbę, to nie "zniknie" Ci zmienna "y", więc nadal będziesz miał zależność od dwóch zmiennych (x, y), a my dążymy tak jakby do "dowodu nie wprost", chociaż w zasadzie nim nie jest
Awatar użytkownika
smigol
Użytkownik
Użytkownik
Posty: 3454
Rejestracja: 20 paź 2007, o 23:10
Płeć: Mężczyzna
Lokalizacja: Warszawa
Podziękował: 89 razy
Pomógł: 353 razy

Musztari - problem z zadaniami

Post autor: smigol »

dodaj i odejmij \(\displaystyle{ x^2}\).
iroki
Użytkownik
Użytkownik
Posty: 18
Rejestracja: 13 mar 2010, o 20:31
Płeć: Mężczyzna
Lokalizacja: Tarnów
Pomógł: 1 raz

Musztari - problem z zadaniami

Post autor: iroki »

Robiłem tak ale utknąłem na pewnym etapie, napisze jakie było moje rozumowanie:
\(\displaystyle{ x^{1985} + x + 1 = (x^{661})^3x^{2} - x^{2} + x^{2} + x + 1 = x^{2}[(x^{661})^3 - 1] + x^{2} + x + 1 = x^{2}(x^{661} - 1)[(x^{2})^{661} + x^{661} + 1] + x^{2} + x + 1}\)

Nie wiem czy moje rozumowanie jest słuszne czy nie, ale w tym właśnie punkcie utknąłem
Dumel
Użytkownik
Użytkownik
Posty: 2000
Rejestracja: 19 lut 2008, o 17:35
Płeć: Mężczyzna
Lokalizacja: Stare Pole/Kraków
Podziękował: 60 razy
Pomógł: 202 razy

Musztari - problem z zadaniami

Post autor: Dumel »

w pierwszym wykonaj algorytm Euklidesa dla licznika i mianownika
Awatar użytkownika
smigol
Użytkownik
Użytkownik
Posty: 3454
Rejestracja: 20 paź 2007, o 23:10
Płeć: Mężczyzna
Lokalizacja: Warszawa
Podziękował: 89 razy
Pomógł: 353 razy

Musztari - problem z zadaniami

Post autor: smigol »

Dla ułatwienia: \(\displaystyle{ x^3=a}\)
\(\displaystyle{ \left( x^3 \right)^{661}-1=a^{661}-1}\)
I teraz ze wzoru skróconego mnożenia.
iroki
Użytkownik
Użytkownik
Posty: 18
Rejestracja: 13 mar 2010, o 20:31
Płeć: Mężczyzna
Lokalizacja: Tarnów
Pomógł: 1 raz

Musztari - problem z zadaniami

Post autor: iroki »

smigol pisze:Dla ułatwienia: \(\displaystyle{ x^3=a}\)
\(\displaystyle{ \left( x^3 \right)^{661}-1=a^{661}-1}\)
I teraz ze wzoru skróconego mnożenia.
No jasne, dzięki xD Jak na to zadanie patrzę to takie proste mi się wydaje teraz
Awatar użytkownika
smigol
Użytkownik
Użytkownik
Posty: 3454
Rejestracja: 20 paź 2007, o 23:10
Płeć: Mężczyzna
Lokalizacja: Warszawa
Podziękował: 89 razy
Pomógł: 353 razy

Musztari - problem z zadaniami

Post autor: smigol »

Każde (no dobra, większość) zadanie jest banalne jeśli się umie je rozwiązać ;d
iroki
Użytkownik
Użytkownik
Posty: 18
Rejestracja: 13 mar 2010, o 20:31
Płeć: Mężczyzna
Lokalizacja: Tarnów
Pomógł: 1 raz

Musztari - problem z zadaniami

Post autor: iroki »

No niestety mam z kolejnym zadaniem kłopot

Trzycyfrowa liczba abc jest liczba pierwszą, wykaż, że
\(\displaystyle{ b^{2} -4ac}\) nie może być pełnym kwadratem liczby naturalnej.

Proszę o jakąś podpowiedź co mogę zrobić. Uzyskałem równanie \(\displaystyle{ 100a + 10b + c = abc}\)
Założyłem, że równanie zachodzi. \(\displaystyle{ 100a + 10b + c = a(10 - \frac{ -b - \sqrt{ \Delta} }{2a})(10 - \frac{ -b + \sqrt{ \Delta} }{2a})}\)

Co mam dalej robić??
ODPOWIEDZ