równanie diofantyczne(2)

Pati:) · Post autor: **Pati:)** » 23 wrz 2006, o 17:09

Mam takie zadanie :
wyznacz wszystkie całkowite dodatnie rozwiązanie równania

\(\displaystyle{ y^x=x^{50}}\)

Poprawiłem zapis. Lorek

Tristan · Post autor: **Tristan** » 23 wrz 2006, o 17:21

Zlogarytmujmy stronami logarytmem o podstawie x, a otrzymamy:
\(\displaystyle{ \log_{x} y^x=\log_{x} x^{50}}\)
\(\displaystyle{ x \log_{y}x =1 50=2 25 =5 10}\)
Teraz już tylko podstawiasz i otrzymujesz rozwiązania: \(\displaystyle{ (50,50), (2, 2^{25}), (25, 25^2), (5,5^{10}), (10, 10^5)}\)

mol_ksiazkowy · Post autor: **mol_ksiazkowy** » 23 wrz 2006, o 18:50

Tristan napisał:

\(\displaystyle{ x \log_{y}x =1 50=2 25 =5 10}\)

ok, ale co jesli\(\displaystyle{ log_y x}\) bedzie ułamkiem...?!

Tristan · Post autor: **Tristan** » 24 wrz 2006, o 23:35

Istnieje jeszcze jedno rozwiązanie. Przy rozważaniu tego logarytmu należy założyć, że \(\displaystyle{ x \neq 1}\), więc ten pzypadek należy rozważyć osobno i otrzymamy szóste rozwiązanie, tj. (1,1).
Mol_ksiazkowy - Można pobawić się w różne rozważania, np. gdy x>50 i wtedy rozpatrzyć przypadki gdy x>y i y>x. Może coś z tego wyjdzie...

mol_ksiazkowy · Post autor: **mol_ksiazkowy** » 25 wrz 2006, o 19:06

a moze wyjsc od tego ze x i y maja te same dzielniki pierwsze.../!?