Części ułamkowe

[matemix]

Liczby:

\(\displaystyle{ \frac {2^{a}}{3^{a}}}\) i \(\displaystyle{ \frac {3^{a}+2^{a}}{3^{a}}}\)

mają równe części ułamkowe. Jednak części ułamkowe ich odwrotności:

\(\displaystyle{ \frac {3^{a}}{2^{a}}}\) i \(\displaystyle{ \frac {3^{a}}{3^{a}+2^{a}}}\)

znacznie się różnią. \(\displaystyle{ a}\) to dowolna liczba naturalna (bez zera).

Czy część ułamkowa drugiej z nich będzie dla każdego \(\displaystyle{ a}\) zawsze większa? Oraz ile wynosi najmniejsza możliwa różnica części ułamkowej liczby drugiej i pierwszej?

[Brzytwa]

Liczby:

\(\displaystyle{ \frac {2^{a}}{3^{a}}}\) i \(\displaystyle{ \frac {3^{a}+2^{a}}{2^{a}}}\)

mają równe części ułamkowe.

No tak nie bardzo. One nawet nigdy nie mają równych części ułamkowych.

[pawels]

Pytanie czym jest \(\displaystyle{ a}\). Jeżeli liczbą naturalną, to tak jak zauważył Brzytwa ich części ułamkowe różnią się gdy \(\displaystyle{ a}\) jest dodatnia, czyli \(\displaystyle{ a=0}\). Wówczas część ułamkowa drugiej odwrotności jest równa \(\displaystyle{ \frac{1}{2}}\), a pierwsza jest całkowita.

[Brzytwa]

Pytanie czym jest \(\displaystyle{ a}\). Jeżeli liczbą naturalną, to tak jak zauważył Brzytwa ich części ułamkowe różnią się gdy \(\displaystyle{ a}\) jest dodatnia, czyli \(\displaystyle{ a=0}\).

W pierwszym poście jest napisane, że a to dowolna liczna naturalna dodatnia. Ponadto z kontekstu wynika, że ma być dowolna, a nie ustalona.

[matemix]

Przepraszam, pomieszałem.

Jeszcze raz:

Liczby:

\(\displaystyle{ \frac {2^{a}}{3^{a}}}\) i \(\displaystyle{ \frac {3^{a}+2^{a}}{3^{a}}}\)

mają równe części ułamkowe. Jednak części ułamkowe ich odwrotności:

\(\displaystyle{ \frac {3^{a}}{2^{a}}}\) i \(\displaystyle{ \frac {3^{a}}{3^{a}+2^{a}}}\)

znacznie się różnią. \(\displaystyle{ a}\) to dowolna liczba naturalna (bez zera).

Czy część ułamkowa drugiej z nich będzie dla każdego \(\displaystyle{ a}\) zawsze większa? Oraz ile wynosi najmniejsza możliwa różnica części ułamkowej liczby drugiej i pierwszej?