Wykaż, że jeśli k i n ...

[Semtex4]

Wykaż, że jeśli k i n są liczbami naturalnymi oraz \(\displaystyle{ 1 \le k \le n , to k(n-k+1) \ge n}\).

[ar1]

to wyrażenie jest równoważne (n-k)(k-1)\(\displaystyle{ \ge}\)0

[Semtex4]

Możesz to wyjaśnić.

[ar1]

zwykłe przekształcenie
przerzucasz wszystko na lewą stronę , wymnażasz
a póżniej starasz się wyciągnąć coś przed nawias

[matemix]

\(\displaystyle{ k \cdot (n-k+1) \geqslant n}\)

\(\displaystyle{ n-k+1 \geqslant \frac {n}{k}}\)

\(\displaystyle{ -k+1 \geqslant \frac {n}{k} - n}\)

\(\displaystyle{ n-\frac {n}{k} \geqslant k-1}\)

\(\displaystyle{ \frac {n \cdot k}{k} -\frac {n}{k} \geqslant k-1}\)

\(\displaystyle{ \frac {(k-1) \cdot n}{k} \geqslant k-1}\)

\(\displaystyle{ (k-1) \cdot n \geqslant (k-1) \cdot k}\)

\(\displaystyle{ n \geqslant k}\)