czy jest podzielne przez......

[Matiasek]

Witam na forum
mam problem z zadaniem:
czy 3^18 - 2^28 jest podzielne przez 19
czy 5^12 - 1 jest podzielne przez 31

nie wiem w jaki sposob to sie rozwiązuje, prosze o pomoc i wytłumaczenie jak to sie robi

[Tristan]

1) Z małego tw. Fermata mamy, że \(\displaystyle{ 3^{18} \equiv 1 (mod\ 19)}\) oraz \(\displaystyle{ 2^{18} \equiv 1 ( mod\ 19)}\). Z tego mamy, że \(\displaystyle{ 2^{28} \equiv 2^{10}=(2^5)^2 \equiv 13^2=169 \equiv -2 ( mod\ 19)}\), więc \(\displaystyle{ 3^{18} - 2^{28} \equiv 1-(-2)=3 ( mod\ 19)}\). Czyli liczba ta nie jest podzielna przez 19.

2) Korzystam tutaj z wzorów skróconego mnożenia:
\(\displaystyle{ 5^{12} -1=(5^6 -1)(5^6 +1)=5^3 -1)(5^3 +1)(5^6+1)= \\(5-1)(5^2+5 1+1^1)(5^3 +1)(5^6 +1)=4 31 (5^3 +1)(5^6+1)}\), więc liczba ta rzeczywiście podzielna jest przez 31.

[mol_ksiazkowy]

ad2( \(\displaystyle{ a^{12}-1 = (a^6-1)(a^6+1)=(a^3-1)(a^3+1)(a^6+1)=}\), tj dla a=5 nasza liczba dzieli sie przez 5^3-1=124=31*4 , wiec ok

[Matiasek]

dzięki Wam wielkie. naprawde bardzo mi pomogliście. Pozdrawiam