(nietypowy) problem dla permutacji

[sd]

Drodzy Forumowicze
Na wstępie przepraszam, za wszelkie technicznie niedociągnięcia, ale jestem początkującym adeptem internetowych for i jest to mój pierwszy post - proszę więc o wyrozumiałość.
Zwracam się do Was z prośbą o udzielenie mi pomocy w rozwiązaniu pewnego problemu. Przedstawię najpierw jego szczegóły. Weźmy wszystkie możliwe permutacje zbioru składającego się z trzech elementów spełniających warunek a1>a2>a3. Dla uproszczenia niech wartości tych elementów równają się odpowiednio a1 = 1, a2 = 2, a3 = 3. Możliwych jest zatem sześć permutacji tego zbioru:

Kod: Zaznacz cały

1  2  3
1  3  2
2  1  3
2  3  1
3  1  2
3  2  1

Określmy teraz w każdej permutacji dla kolejnych kolumn k ile jest elementów większych na poprzedzających ją kolumnach i=1,2,3,...,k-1. Dla pierwszej permutacji oznacza to odpowiedź na pytanie ile jest w pierwszej kolumnie elementów z wcześniejszych (poprzedzających ją) kolumn większych od 1 (0); ile jest w drugiej kolumnie takich elementów (tzn. większych od 2 – 0), w trzeciej – 0. W drugiej permutacji widać, że w pierwszej i drugiej kolumnie tych elementów także jest 0, ale w kolumnie trzeciej takich elementów jest 1, bo 3 > 2. W trzeciej permutacji w pierwszej kolumnie znów pojawi się 0, ale w kolumnie drugiej należy wpisać 1, bo 2 > 1. W kolumnie trzeciej znów 0. Oczywiście dla pierwszej kolumny nie występuje nigdy żaden element większy, zatem w tej kolumnie pojawi się w każdym wierszu zawsze 0, w kolumnie drugiej może pojawić się 0 lub 1, w kolumnie trzeciej 0, 1 lub 2 itd. Chcę tu jeszcze raz podkreślić, że dla kolejnych kolumn określa się ilość elementów większych, ale tylko z kolumn poprzedzających ją (tzn. z kolumn od strony lewej).
Przykład dla powyższych permutacji:

Kod: Zaznacz cały

1	2	3		0	0	0
1	3	2		0	0	1
2	1	3		0	1	0
2	3	1		0	0	2
3	1	2		0	1	1
3	2	1		0	1	2

Problem ten ma swoje rozwinięcie, które dotyczy ilości k inwersji w n elementowym zbiorze (mam go rozwałkowanego). Mnie interesuje jednak rzecz nieco inna i jak do tej pory nie udało mi się znaleźć jej rozwiązania (być może źle szukałem, ale na swoje usprawiedliwienie dodam, że spędziłem trochę czasu na poszukiwaniach). Dokonajmy teraz następującej operacji. Dla każdej permutacji, w której została już w kolumnach określona liczba elementów większych, odejmijmy od kolumny następnej, poprzednią tzn. od drugiej odejmijmy pierwszą, od trzeciej - drugą itd. innymi słowy określmy przyrosty ilości liczb większych w kolumnach.

Kod: Zaznacz cały

0	0	0		0	0
0	0	1		0	1
0	1	0		1	-1
0	0	2		0	2
0	1	1		1	0
0	1	2		1	1

Za każdym razem otrzymamy jako wynik o jedną kolumnę mniej, niż liczba n dla której wykonywana jest ta analiza. Określmy teraz rozkład lub liczność ilości przyrostów: jak widać –1 wystąpi 1 raz, 0 pojawi się 5 razy, 1 pojawi się 5 razy, 2 tylko 1 raz. Powtarzając te same operacje dla n = 4 otrzymamy, że –2 pojawi się 2 razy, -1 – 8 razy, 0 – 26 razy, 1 – 26 razy, 2 – 8 razy, 3 – 2 razy. Dla kolejnych n wyniki prezentowane są poniżej:

Kod: Zaznacz cały

          n= 2    3    4     5     6     7     8
przyrost							
-6                                           720
-5                                     120  2400
-4                                24   408  5424
-3                           6    84   948 10464
-2                     2    22   204  1908 18864
-1                1    8    58   444  3708 33984
 0           1    5   26   154  1044  8028 69264
 1           1    5   26   154  1044  8028 69264
 2                1    8    58   444  3708 33984
 3                     2    22   204  1908 18864
 4                           6    84   948 10464
 5                                24   408  5424
 6                                     120  2400
 7                                           720

Określanie co wpisać tej tabeli w kolejnych kolumnach i odpowiednich wierszach wymaga, jak łatwo zauważyć, sprawdzenia n! permutacji co dla n>10 jest mało efektywne (chciałbym to móc robić nawet dla n = 10000 i więcej). Interesuje mnie prostszy sposób określania tych liczb. Dzięki mej „wnikliwości” zauważyłem, że skrajne elementy równe są (n-2)! (1, 1, 2, 6, 24, 120, 720, ...) oraz, że wartości elementów sąsiadujących z nimi „od dołu” (1 – 5, 1 – 8, 2 – 22, 6 – 84, 24 – 408 ...) zachowują się następująco 5 : 1 = 5, 8 : 1 = 8, 22 : 2 = 11, 84 : 6 = 14, 402 : 24 = 17 itd., czyli otrzymujemy ciąg 5,8,11,14,17 co pokazuje, że wyniki tych ilorazów są za każdym razem o 3 większe od poprzednika. Jak widać liczby te rozkładają się symetrycznie względem osi symetrii pomiędzy przyrsotem =0 i 1. Innych własności nie znalazłem.

Czy możecie mi jakoś pomóc?

[Calasilyar]

Weźmy wszystkie możliwe permutacje zbioru składającego się z trzech elementów spełniających warunek a1>a2>a3. Dla uproszczenia niech wartości tych elementów równają się odpowiednio a1 = 1, a2 = 2, a3 = 3.

a1>a2>a3? to chyba nie bardzo się zgadza 1>2>3, co sugerujesz...

[sd]

Po pierwsze zapomniałem o indeksach (słaby jestem w texie)
\(\displaystyle{ a_1}\)