Wyrażenia algebraiczne

[Tomek1230]

Należy policzyć \(\displaystyle{ x^{6}+x ^{3}y ^{3}+y ^{6}}\) jeżeli
\(\displaystyle{ x^{2}+xy+y^{2}=4}\) oraz \(\displaystyle{ x^{4}+x ^{2}y ^{2}+y ^{4}=8}\)

Pomnożyłem obydwa równania jednak niepotrafię doprowadzić do oczekiwanej postaci ;/

[bosa_Nike]

\(\displaystyle{ \begin{cases}(x+y)^2-xy=4\\ \left((x+y)^2-2xy\right)^2-(xy)^2=8\end{cases}}\)

Wylicz z tego parę \(\displaystyle{ (x+y, xy)}\) i oblicz \(\displaystyle{ \left((x+y)^3-3xy(x+y)\right)^2-(xy)^3}\).

[meninio]

Zrób podstawienie takie:

\(\displaystyle{ \begin{cases} t=x+y \\ z=xy \end{cases}}\)

Wtedy dane z zadania można przedstawić w postaci:

\(\displaystyle{ \begin{cases} t^2-z=4\\ \left( t^2-z\right) ^2-z^2=8 \end{cases}}\)

Po rozwiązaniu dostaje się:

\(\displaystyle{ \begin{cases} t=\sqrt{5} \vee t=-\sqrt{5} \\ z=1 \end{cases}}\)

I wtedy:
\(\displaystyle{ x^6+x^3y^3+y^6=(x^3+y^3)^2-x^3y^3=(x+y)^2(x^2-xy+y^2)^2-(xy)^3= (x+y)^2 \left[(x+y)^2-3xy \right]^2-(xy)^3=t^2 \left[t^2-3z \right]^2-z^3=19}\)

[Tomek1230]

Dzięki wam wszystkim. (na te zmienne na pewno bym nie wpadł ;])