Znajdź wszystkie liczby pierwsze p dla których \(\displaystyle{ p^{2}-6}\) i \(\displaystyle{ p^{2}+6}\) też sa pierwsze.
Próbowałem podstawić nowa zmienną lecz nie potrafie tego zapisać za pomocą iloczynu.
Znajdź wszystkie liczby pierwsze p
-
- Użytkownik
- Posty: 370
- Rejestracja: 26 sty 2010, o 21:41
- Płeć: Mężczyzna
- Lokalizacja: Toruń
- Podziękował: 2 razy
- Pomógł: 53 razy
Znajdź wszystkie liczby pierwsze p
Zauważmy, że 5 spełnia warunki zadania. Pokażemy, że innych liczb o tej własności nie ma. Uzasadnimy, że któraś z liczb \(\displaystyle{ p,p^2-6,p^2+6}\) dzieli się przez 5 (co pociąga też, że musi być równa 5). Zauważmy, że wśród liczb p-2,p-1,p,p+1,p+2 jedna jest podzielna przez 5. Dalej, mamy \(\displaystyle{ p,p^2-6=p^2-1-5=(p-1)(p+1)-5,p^2+6=p^2-4+10=(p-2)(p+2)+2\cdot 5}\). Stąd jest jasne, że, któraś z liczb \(\displaystyle{ p,p^2-6,p^2+6}\) jest równa 5. Gdy p=5, to otrzymujemy rozwiązanie, gdy \(\displaystyle{ p^2-6=5}\), to mamy sprzeczne równanie, gdy \(\displaystyle{ p^2+6=5}\), to również dostajemy sprzeczność.
Ostatnio zmieniony 28 lut 2010, o 21:31 przez marcinz, łącznie zmieniany 1 raz.
-
- Użytkownik
- Posty: 1996
- Rejestracja: 20 maja 2008, o 15:14
- Płeć: Mężczyzna
- Lokalizacja: Warszawa/Stalowa Wola
- Podziękował: 42 razy
- Pomógł: 247 razy
Znajdź wszystkie liczby pierwsze p
Dlaczego równa 5? Wystarczy pokazać, że któraś z liczb dzieli się przez 5 i jednocześnie jest różna od 5, co POCIĄGA za sobą, że nie jest pierwsza.Uzasadnimy, że któraś z liczb \(\displaystyle{ p,p^2-6,p^2+6}\) dzieli się przez 5 (co pociąga też, że musi być równa 5)
Prawidłowo będzie nie "jest równa 5" tylko "jest podzielna przez 5, a zatem warunek będzie spełniony jedynie dla \(\displaystyle{ p=5}\), bo dla \(\displaystyle{ p \neq 5}\) któraś z liczb jest zawsze złożona.marcinz pisze:Stąd jest jasne, że, któraś z liczb \(\displaystyle{ p,p^2-6,p^2+6}\) jest równa 5.
BTW. \(\displaystyle{ p^2-6 \neq p^2-1+5=(p-1)(p+1)+5}\) - zakładam, że literówka, ale dobrze byłoby poprawić.
-
- Użytkownik
- Posty: 370
- Rejestracja: 26 sty 2010, o 21:41
- Płeć: Mężczyzna
- Lokalizacja: Toruń
- Podziękował: 2 razy
- Pomógł: 53 razy
Znajdź wszystkie liczby pierwsze p
No to można różnie skończyć. Chodziło mi o to, że jeśli są pierwsze i któraś dzieli się przez 5 to właśnie ta, która dzieli się przez 5 musi być równa 5.Dlaczego równa 5? Wystarczy pokazać, że któraś z liczb dzieli się przez 5 i jednocześnie jest różna od 5, co POCIĄGA za sobą, że nie jest pierwsza.
Jasne, że literówka. Razi w oczy. Już poprawiam.BTW.\(\displaystyle{ p^2-6 \neq p^2-1+5=(p-1)(p+1)+5}\)- zakładam, że literówka, ale dobrze byłoby poprawić.