Znajdź wszystkie liczby pierwsze p

[Tomek1230]

Znajdź wszystkie liczby pierwsze p dla których \(\displaystyle{ p^{2}-6}\) i \(\displaystyle{ p^{2}+6}\) też sa pierwsze.
Próbowałem podstawić nowa zmienną lecz nie potrafie tego zapisać za pomocą iloczynu.

[marcinz]

Zauważmy, że 5 spełnia warunki zadania. Pokażemy, że innych liczb o tej własności nie ma. Uzasadnimy, że któraś z liczb \(\displaystyle{ p,p^2-6,p^2+6}\) dzieli się przez 5 (co pociąga też, że musi być równa 5). Zauważmy, że wśród liczb p-2,p-1,p,p+1,p+2 jedna jest podzielna przez 5. Dalej, mamy \(\displaystyle{ p,p^2-6=p^2-1-5=(p-1)(p+1)-5,p^2+6=p^2-4+10=(p-2)(p+2)+2\cdot 5}\). Stąd jest jasne, że, któraś z liczb \(\displaystyle{ p,p^2-6,p^2+6}\) jest równa 5. Gdy p=5, to otrzymujemy rozwiązanie, gdy \(\displaystyle{ p^2-6=5}\), to mamy sprzeczne równanie, gdy \(\displaystyle{ p^2+6=5}\), to również dostajemy sprzeczność.

[xanowron]

Uzasadnimy, że któraś z liczb \(\displaystyle{ p,p^2-6,p^2+6}\) dzieli się przez 5 (co pociąga też, że musi być równa 5)

Dlaczego równa 5? Wystarczy pokazać, że któraś z liczb dzieli się przez 5 i jednocześnie jest różna od 5, co POCIĄGA za sobą, że nie jest pierwsza.

Stąd jest jasne, że, któraś z liczb \(\displaystyle{ p,p^2-6,p^2+6}\) jest równa 5.

Prawidłowo będzie nie "jest równa 5" tylko "jest podzielna przez 5, a zatem warunek będzie spełniony jedynie dla \(\displaystyle{ p=5}\), bo dla \(\displaystyle{ p \neq 5}\) któraś z liczb jest zawsze złożona.



BTW. \(\displaystyle{ p^2-6 \neq p^2-1+5=(p-1)(p+1)+5}\) - zakładam, że literówka, ale dobrze byłoby poprawić.

[marcinz]

Dlaczego równa 5? Wystarczy pokazać, że któraś z liczb dzieli się przez 5 i jednocześnie jest różna od 5, co POCIĄGA za sobą, że nie jest pierwsza.

No to można różnie skończyć. Chodziło mi o to, że jeśli są pierwsze i któraś dzieli się przez 5 to właśnie ta, która dzieli się przez 5 musi być równa 5.

BTW.\(\displaystyle{ p^2-6 \neq p^2-1+5=(p-1)(p+1)+5}\)- zakładam, że literówka, ale dobrze byłoby poprawić.

Jasne, że literówka. Razi w oczy. Już poprawiam.