Nierówność dla dowolnych a, b...

Hondo · Post autor: **Hondo** » 22 lut 2010, o 11:48

Wykaż, że dla dowolnych a, b \(\displaystyle{ \in R_{+}}\) zachodzi:

\(\displaystyle{ \frac{a}{b} + \frac{b}{a} \ge 2}\)

Zordon · Post autor: **Zordon** » 22 lut 2010, o 12:11

Mnożymy obustronnie przez \(\displaystyle{ ab}\), po przeniesieniu na jedną stronę dostajemy:
\(\displaystyle{ a^2-2ab+b^2 \ge 0}\), co oczywiście jest prawdą, bo \(\displaystyle{ a^2-2ab+b^2=(a-b)^2}\). Ponieważ otrzymana nierówność jest równoważna tej z zadania, to dowód został zakończony.

Hondo · Post autor: **Hondo** » 22 lut 2010, o 18:49

Możemy tak pomnożyć w nierówności przez niewiadome ab?

Zordon · Post autor: **Zordon** » 22 lut 2010, o 18:54

Z założenia \(\displaystyle{ ab>0}\), zatem możemy i otrzymamy nierówność równoważną.

marszalos · Post autor: **marszalos** » 22 lut 2010, o 18:55

Te niewiadome z założenia należą do rzeczywistych dodatnich, więc znak nam się nie zmienia.

Hondo · Post autor: **Hondo** » 22 lut 2010, o 19:09

Dzięki wielkie.