potegi

[mol_ksiazkowy]

Wykazać, że jeżeli a i r są liczbami naturalnymi względnie pierwszymi, to w ciągu arytmetycznym:
a, a + r, a + 2r, ...
istnieje nieskończenie wiele potęg liczb naturalnych o wykładniku większym od 1.

[Marcin88]

Rozważmy liczby postaci \(\displaystyle{ kr+a}\)gdzie k jest liczbą naturalną. Korzystając z twierdzenia Eulera:\(\displaystyle{ NWD(a,b)=1\Rightarrow{a^{\phi(b)}\equiv1(mod b)}}\) wnioskujemy, że:\(\displaystyle{ (kr+a)^{\phi(r)+1}\equiv{a}(mod r)}}\) co oznacza, że każda liczba postaci \(\displaystyle{ (kr+a)^{\phi(r)+1}}\) jest wyrazem tego ciągu, a liczb takich jest przecież nieskończenie wiele.