Dane jest wyrażenie

[wagus1]

Dane jest wyrażenie: \(\displaystyle{ W(x) = \frac{A} {x} + \frac {B} {x+1}}\) dla \(\displaystyle{ x \in R -\{ -1, 0 \}}\)

1. Wyznacz liczby A i B tak, aby:

\(\displaystyle{ W(x) = \frac {A} {x} + \frac {B} {x+1}}\)

2. Uzasadnij, że suma:

\(\displaystyle{ \frac {1} {1*2} + \frac {1} {2*3} + \frac {1} {3*4} + ... + \frac{1} {2009*2010}}\)
Jest mniejsza od 1.

Proszę o pomoc:)

[Azai]

W pierwszym czegoś brakuje chyba.

2) Zauważ, że:
\(\displaystyle{ \frac{1}{1*2}= 1- \frac{1}{2} \\ \\
\frac{1}{2*3}= \frac{1}{2} - \frac{1}{3}}\)
itd.

[wagus1]

Przepisane jest zgodnie z treścią. Chyba że sie w wydawnictwie pomylili -.0

[marszalos]

no tak, wyszperałem to zadanie 1 i jest podana "nadrzędna" część zadania, mówiąca, że wielomian \(\displaystyle{ W(x) = \frac{1}{x(x+1)}}\)

Wtedy robisz:
\(\displaystyle{ \frac{1}{x(x+1)} = \frac{A}{x} + \frac{B}{x+1}}\)
Wspólny mianownik:
\(\displaystyle{ \frac{1}{x(x+1)} = \frac{Ax + A + Bx}{x(x+1)} \Rightarrow 1 = Ax + Bx + A}\)
w mianowniku po lewej stronie, nie występuje żaden \(\displaystyle{ x}\), więc:
\(\displaystyle{ Ax + Bx = 0 \cap A = 1}\)
Podsumowując:
\(\displaystyle{ W(x) = \frac{1}{x} + \frac{-1}{x+1}}\)