udowodnij - nwd

[jacekvool]

1) udowodnij, że jeśli nwd(a,b)=1 to nwd(ab,a+b)=1

2) udowodnij, że jeśli nwd(a,b)=1 to nwd(ac,bc) = c, dla dowolnej naturalnej c

[ Dodano: 27 Wrzesień 2006, 22:28 ]
może jednak ktoś spróbuje to rozwiązać?? ja już siedzę długo i nie potrafię

[Efendi]

2 jest banalne:
aby obliczyć NWD dwóch liczb, należy rozłożyć obie liczby na czynniki pierwsze, zapisać je w postaci potęg, a następnie skorzystać ze wzrou \(\displaystyle{ p_{1}^{min(a_{1},b_{1})}*p_{2}^{min(a_{2},b_{2})}}\)..., gdzie p z kolejnymi ideksami to kolejne czynniki rozkładu, zaś a z kolejnymi indeksami to potęga, do której jest podniesiony dany czynnik w pierwszym rozkładzie, a b w drugim. W takim razie jeżeli wiadomo, że nwd(a,b) = 1, to znaczy, że jedyny wspólny czynnik wzoru wynosi 1. Jeżeli teraz pomnożyć cały wzór c razy, to wyjdzie jasno, że nwd(ac,bc) = c
Jeżeli to wytłumaczenie wyda się zbyt zawiłe, to można pisać na gg. Co do pierwszego, to też na pewno trzeba dowodzić tej zależności z powyższego wzoru, ale aktualnie nie bardzo mam czas, żeby nad tym myśleć.

[Calasilyar]

może to okaże się pomocne:
https://matematyka.pl/viewtopic.php?t=18957