Wykaż, że liczba x jest złozona:

[mol_ksiazkowy]

\(\displaystyle{ x=\frac{2^{4n+6}+1}{5}}\)

[Lady Tilly]

Najpierw zauważmy jak się sprawa ma dla n=1
\(\displaystyle{ \frac{2^{10}+1}{5}=\frac{1024+1}{5}}\) jest to liczba złożona dlatego, że każda liczba, która ma cyfrę jedności równą 5 jest podzielna przez 5. Właśnie wynika to z faktu podzielności przez 5. Zauważmy, ż wyrażenie \(\displaystyle{ 4n+6}\) jest zawsze liczbą parzystą a to oznacza, że liczba \(\displaystyle{ 2^{4n+6}}\) zawsze posiada cyfrę jedności równą 4. 1 jest też cyfrą jednościi jeśli do niej dodamy 4 to otrzymamy 5 wiec każdorazowo z tej właśnie przyczyny jakąkolwiek liczbę naturalną (parzystą lub nie) wstawimy za n otrzymamy w wyrazeniu \(\displaystyle{ 2^{4n+6}+1}\) liczbę dowolnie dużą lecz z liczbą jedności równą 5 przez co liczba ta jest podzielna przez 5 co dowodzi, że jest to liczba złożona czyli taka liczba która nie jest liczbą pierwszą i posiada więcej niż dwa dzielniki.

[Sir George]

...dlatego, że każda liczba, która ma cyfrę jedności równą 5 jest podzielna przez 5.

... a co gwarantuje, że po podzieleniu jej przez 5 iloraz będzie w dalszym ciągu złożony? (a nuż jest to iloczyn dużej liczby pierwszej i 5...?)

[Lady Tilly]

np. dla n=1 x=205 dzielnik 5
n=2 x=3277 dzielnik 113 i 29
n=3 x=52429 dzielnik 4033 i 13
n=4 x=838861 dzielnik 2113 i 397
wiem, wiem to tylko przykłady

[TomciO]

Lady Tilly: oczywiscie bez obrazy, ale po co wlasciwie to piszesz?

\(\displaystyle{ \frac{2^{4n+6}+1}{5} = \frac{(2^{2n+3}+1)^2-2^{2n+4}}{5}=\frac{(2^{2n+3}-2^{n+2}+1)(2^{2n+3}+2^{n+2}+1)}{5}}\)
Wystarczy pokazac, ze \(\displaystyle{ \frac{2^{2n+3}-2^{n+2}+1}{5} > 1}\)
albo
\(\displaystyle{ 2^{2n+3} - 2^{n+2} > 4}\)
rownowaznie
\(\displaystyle{ 2^{2n+1} > 2^{n}+1}\)
A to jest oczywiste.

[mol_ksiazkowy]

mozna uprosci to tak: \(\displaystyle{ y=\frac{4^{n+1}+1}{5}}\) n>1