rozwinięcie dziesiętne + fibonacci

[maciej.woznica]

1. Pokaż, że część ułamkowa rozwinięcia dziesiętnego liczby \(\displaystyle{ (5+ \sqrt{26}) ^{n}}\) zaczyna się od \(\displaystyle{ n}\) jednakowych cyfr.
2. Wykaż, że w ciągu Fibonacciego istnieje liczba kończąca się tysiącem zer.

[rsasquatch]

2.
Pokaże, silniejszą zależność a mianowicie że \(\displaystyle{ 10^n|F_{15 \cdot 10^{n-1}}=F_{2^{n-1} \cdot 3 \cdot 5^n}\)
Dowód
Skorzystamy tutaj z tego, że \(\displaystyle{ NWD(F_m,F_n)=F_{NWD(m,n)}}\) Lucas(1876) B&Q(2003)-Theorem 6,Vajda Theorem II page 83
Tak więc \(\displaystyle{ NWD(F_{15 \cdot 10^{n-1}},F_{2^{n-1} \cdot 3})=F_{2^{n-1} \cdot 3}}\)
oraz \(\displaystyle{ NWD(F_{15 \cdot 10^{n-1}},F_{5^n})=F_{5^n}}\)
Wystarczy pokazać,że \(\displaystyle{ 5^n|F_{5^n} \wedge 2^n|F_{2^{n-1} \cdot 3}}\)
Dla n=1
\(\displaystyle{ F_{2^{1-1} \cdot 3}=F_3=2}\) podzielne przez 2
Załóżmy, że wzór jest prawdziwy dla jakiegoś n
Teza: Czy jest pawdziwy dla n+1
\(\displaystyle{ F_{2^{n+1-1} \cdot 3}=F_{2^{n} \cdot 3}=F_{2^{n-1} \cdot 3+2^{n-1} \cdot 3}=(*)}\)
Będziemy teraz wielokrotnie korzystali z wzoru \(\displaystyle{ F_{m+n}=F_{n+1}F_{m}+F_{n}F_{m-1}}\)
(alternative to Dunlap-10, B&Q(2003)-Identity 3;
variation of R T Hansen FQ (1972) "Generating Identities for Fibonacci and Lucas Triples" p 571-578)
\(\displaystyle{ (*)=F_{2^{n-1} \cdot 3+1}F_{2^{n-1} \cdot 3}+F_{2^{n-1} \cdot 3}F_{2^{n-1} \cdot 3-1}=F_{2^{n-1} \cdot 3}F_{2^{n-1} \cdot 3}+F_{2^{n-1} \cdot 3-1}F_{2^{n-1} \cdot 3}+F_{2^{n-1} \cdot 3}F_{2^{n-1} \cdot 3-1}=F_{2^{n-1} \cdot 3}^2+2F_{2^{n-1} \cdot 3}F_{2^{n-1} \cdot 3-1}}\)
Wobec tego pierwsza część sumy jest podzielna przez \(\displaystyle{ 2^{2n}}\) zaś druga część sumy też jest podzielne przez \(\displaystyle{ 2^{n+1}}\) gdyż \(\displaystyle{ F_{2^{n-1} \cdot 3}}\) jest podzielny przez \(\displaystyle{ 2^{n}}\) ale to jest pomnożone przez 2 wobec tego jest to podzielne przez \(\displaystyle{ 2^{n+1}}\)
Teraz zajmijmy się drugim przypadkiem
dla n=1 mamy
\(\displaystyle{ F_{5^n}=F_{5^1}=5}\) podzielne przez 5
Załóżmy, że wzór prawdziwy dla jakiegoś n
Teza: Czy jest prawdziwy dla n+1
\(\displaystyle{ F_{5^{n+1}}=F_{3 \cdot 5^n+2 \cdot 5^n}=F_{2 \cdot 5^n+1}F_{3 \cdot 5^n}+F_{2 \cdot 5^n}F_{3 \cdot 5^n-1}=...=5F_{5^n}^5+15F_{5^n}^4F_{5^n-1}+20F_{5^n}^3F_{5^n-1}^2+10F_{5^n}^2F_{5^n-1}^3+5F_{5^n}F_{5^n-1}^4}\)
Powinno wyjść coś takiego nie rozpisuje tego tutaj, gdyż rachunki są przytłaczające. Ale ogólnie trzeba ciągle korzystać z tego wzoru co podałem powyżej i z ogólnego wzoru na ciąg fibonacciego a się powinno dość do takiego wyniku.
Tak wiec ten wynik jest też podzielny przez \(\displaystyle{ 5^{n+1}}\) co od razu widać jeżeli ktoś zrozumiał dowód poprzedniego
Z tego wszystkiego otrzymaliśmy, że \(\displaystyle{ F_{5^n},F_{2^{n-1} \cdot 3}|F_{15 \cdot 10^{n-1}}}\) oraz \(\displaystyle{ 5^n|F_{5^n} \wedge 2^n|F_{2^{n-1} \cdot 3}}\) to łącząc te dwie rzeczy otrzymujemy \(\displaystyle{ 5^n,2^n|F_{15 \cdot 10^{n-1}} \Rightarrow10^n| F_{15 \cdot 10^{n-1}}}\)
Czyli nasza liczba to \(\displaystyle{ F_{15 \cdot 10^{999}}}\)
Z góry przepraszam za jakieś błedy

[maciej.woznica]

Dzięki a macie jakiś pomysł na to pierwsze?

[Sylwek]

Pokaż, że dla każdego n naturalnego liczba \(\displaystyle{ (5+\sqrt{26})^n + (5-\sqrt{26})^n}\) jest całkowita. Następnie z faktu, że \(\displaystyle{ |5-\sqrt{26}|<0,1}\) wynika: \(\displaystyle{ |(5-\sqrt{26})^n|<(0,1)^n}\). Podsumowując...

A co do drugiego, z tego co pamiętam, gdzieś w postach limes123 jest bardziej eleganckie rozwiązanie.