podciągi

[mol_ksiazkowy]

Dowieść fakt: Dowolny ciąg arytmetyczny rosnący, utworzony z liczb naturalnych, zawiera dowolnie długie podciągi kolejnych wyrazów, bedace liczbami złozonymi.

[Lady Tilly]

Wydaje mi się, że trzeba siegnąć do terminologii i znaczenia liczb złożonych. Definicja mówi, że liczba złożona to liczba naturalna n>0, która nie jest liczbą pierwszą i posiada więcej niż dwa dzielnik. To fakt. Do tego faktu warto jeszcze dołożyć pewne spostrzeżenie, a mianowicie to, że liczba złożona może powstać z liczb pierwszych. Np liczba 6 jest liczbą złożoną i powstaje z dwóch innych liczba (niekoniecznie złozonych), bo moze ona powstać z iloczynu liczb 2 i 3 lub z sumy liczb 3 i 3. Takich liczb złożonych - tak samo jak wszystkich liczb naturalnych - jest nieskonczenie wiele. I od tych skromnych uwag należałaoby chyba zacząć.

[Marcin88]

Można wybrać taki podciąg długości co najmniej n dla każdego naturalnego n. Jeżeli NWD(pierwszy wyraz ciągu, różnica ciągu)>1 to nie trzeba zbytnio tego dowodzić. Zatem załóżmy że są one względnie pierwsze i weźmy sobie n różnych liczb pierwszych:\(\displaystyle{ p_1, p_2,..., p_n}\), z których żadna nie dzieli różnicy tego ciągu. Ponieważ każde dwie różne liczby pierwsze są względnie pierwsze, więc na mocy chińskiego twierdzenia o resztach możemy wybrać takie x większe od pierwszego wyrazu ciągu, że spełnione są wszystkie z tych kongruencji:
\(\displaystyle{ x\equiv{a}(mod r), x\equiv{-r}(mod p_1^2), x\equiv{-2r}(mod p_2^2), x\equiv{-3r}(mod p_3^2),....., x\equiv{-nr}(mod p_n^2)}\) Stąd wynika że żadna z liczb: \(\displaystyle{ x+r, x+2r, x+3r,..., x+nr}\)nie jest pierwsza co dowodzi już słuszności faktu.

[mol_ksiazkowy]

Extra dowodnik...ja także miałem zrobione wg tw . chińskiego o resztach , ale twoj sposób jest zgrabniejszy , tj. ciut krótszy.chapeau bas!

[g]

w ciagu an+b, podciag (k+ab)!+b, (k+ab)!+2b, (k+ab)!+3b,...,(k+ab)!+kb dla dowolnej liczby k sklada sie tylko z wyracow zlozonych i jest dlugosci k.