Udowodnić,że \(\displaystyle{ 2+2^{18}+3^{18}+4^{18}+5^{18}+6^{18}}\) dzieli się przez \(\displaystyle{ 7}\)
Moje rozw.
\(\displaystyle{ 2^{3}=1(mod7) \Rightarrow 2^{18}=1(mod7)}\)
\(\displaystyle{ 3^{3}=-1(mod7) \Rightarrow 3^{18}=1(mod7)}\)
\(\displaystyle{ 4^{3}=1(mod7) \Rightarrow 4^{18}=1(mod7)}\)
\(\displaystyle{ 5^{3}=6(mod7) \Leftrightarrow 5^{3}=-1(mod7) \Rightarrow 5^{18}=1(mod7)}\)
\(\displaystyle{ 6^{2}=1(mod7) \Rightarrow 6^{18}=1(mod7)}\)
Dodając wszystko otrzymujemy:
\(\displaystyle{ 2^{18}+3^{18}+4^{18}+5^{18}+6^{18}=5(mod7)}\)
tj.
\(\displaystyle{ -5+2^{18}+3^{18}+4^{18}+5^{18}+6^{18}=0(mod7)}\)
Gdzie jest błąd w moim rozumowaniu? A może należy to zadanie zrobić inaczej?
