\(\displaystyle{ 0 \equiv 2x+1 (mod \ y)}\)
\(\displaystyle{ 0 \equiv 2y+1 (mod \ x)}\)
Modulo (srednie!),
-
mol_ksiazkowy
- Użytkownik
- Posty: 11409
- Rejestracja: 9 maja 2006, o 12:35
- Płeć: Mężczyzna
- Lokalizacja: Kraków
- Podziękował: 3155 razy
- Pomógł: 748 razy
-
Marcin88
- Użytkownik
- Posty: 66
- Rejestracja: 15 sie 2006, o 12:41
- Płeć: Mężczyzna
- Lokalizacja: Krosno Odrzańskie
- Pomógł: 25 razy
Modulo (srednie!),
Od razu widać, że NWD(x,y)=1. Niech na początek x,y będą dodatnie.Wtedy \(\displaystyle{ 0\equiv 2x+1\equiv2x+2y+1(mod y), 0\equiv 2y+1\equiv2x+2y+1(mod x)}\)
Stąd więc: \(\displaystyle{ 0\equiv 2(x+y)+1(mod xy)}\) A ponieważ x,y>0 więc:\(\displaystyle{ 2(x+y)+1\leq5xy}\)
\(\displaystyle{ 5xy=2(x+y)+1\Rightarrow x=y=1 , 4xy=2(x+y)+1\Rightarrow}\) sprzeczność modulo 2, \(\displaystyle{ 3xy=2(x+y)+1 \{x,y\}=\{3,1\}, 2xy=2(x+y)+1\Rightarrow}\)sprzeczność modulo 2,\(\displaystyle{ xy=2(x+y)+1\Rightarrow(x-2)(y-2)=5}\) i stąd:\(\displaystyle{ \{x,y\}=\{3,7\}}\)
Jeżeli obie są ujemne to oznaczając u=-x i v=-y jest: \(\displaystyle{ 0\equiv 2u-1(mod v), 0\equiv 2v-1(mod u)}\) czyli:\(\displaystyle{ 0\equiv2(u+v)-1(mod uv)}\)i w ten sam sposób znajdujemy rozwiązania: \(\displaystyle{ \{x,y\}=\{-3,-5\} , x=y=-1}\)
Jeżeli w końcu, powiedzmy x jest ujemne, to niech u=-x. Wtedy:\(\displaystyle{ 0\equiv -2u+1(mod y), 0\equiv 2y+1(mod u)}\) i stąd: \(\displaystyle{ 0\equiv 2(y-u)+1(mod uy)}\)A ponieważ: \(\displaystyle{ |2(y-u)+1|}\)
Stąd więc: \(\displaystyle{ 0\equiv 2(x+y)+1(mod xy)}\) A ponieważ x,y>0 więc:\(\displaystyle{ 2(x+y)+1\leq5xy}\)
\(\displaystyle{ 5xy=2(x+y)+1\Rightarrow x=y=1 , 4xy=2(x+y)+1\Rightarrow}\) sprzeczność modulo 2, \(\displaystyle{ 3xy=2(x+y)+1 \{x,y\}=\{3,1\}, 2xy=2(x+y)+1\Rightarrow}\)sprzeczność modulo 2,\(\displaystyle{ xy=2(x+y)+1\Rightarrow(x-2)(y-2)=5}\) i stąd:\(\displaystyle{ \{x,y\}=\{3,7\}}\)
Jeżeli obie są ujemne to oznaczając u=-x i v=-y jest: \(\displaystyle{ 0\equiv 2u-1(mod v), 0\equiv 2v-1(mod u)}\) czyli:\(\displaystyle{ 0\equiv2(u+v)-1(mod uv)}\)i w ten sam sposób znajdujemy rozwiązania: \(\displaystyle{ \{x,y\}=\{-3,-5\} , x=y=-1}\)
Jeżeli w końcu, powiedzmy x jest ujemne, to niech u=-x. Wtedy:\(\displaystyle{ 0\equiv -2u+1(mod y), 0\equiv 2y+1(mod u)}\) i stąd: \(\displaystyle{ 0\equiv 2(y-u)+1(mod uy)}\)A ponieważ: \(\displaystyle{ |2(y-u)+1|}\)