Ciąg \(\displaystyle{ (a_{n})}\) określamy następująco
\(\displaystyle{ a_{0}=a_{1}=a_{2}=1}\)
\(\displaystyle{ a_{n}=a_{n-1}+a_{n-2}+a_{n-3} dla n \ge 3}\)
a) pokaż, że wszystkie wyrazy \(\displaystyle{ (a_{n})}\) są nieparzyste
b) pokaż, że \(\displaystyle{ (a_{n}) \le 2^{n-1}}\) dla wszystkich \(\displaystyle{ n \ge 1}\)
wyrazy ciągu sa nieparzyste
-
marc84
- Użytkownik
- Posty: 14
- Rejestracja: 28 sty 2010, o 23:35
- Płeć: Mężczyzna
- Lokalizacja: Częstochowa
- Pomógł: 4 razy
wyrazy ciągu sa nieparzyste
Obydwa zadania rozwiązać można za pomocą indukcji.
a) Sprawdzamy dla \(\displaystyle{ n=3, a_3=1+1+1=3}\), nieparzysta
Załóżmy, że dla każdego n, \(\displaystyle{ a_n}\) jest nieparzyste.
Dla n+1 mamy \(\displaystyle{ a_{n+1}=a_n+a_{n-1}+a_{n-2}}\). Ponieważ, an+1 jest suma trzech liczb nieparzystych, tez musi byc nieparzyste.
b) dla n=1 \(\displaystyle{ a_1=1 \leq 2^0=1}\)
Załóżmy, że dla każdego n, \(\displaystyle{ a_n \leq 2^{n-1}}\)
Dla n+1 mamy
\(\displaystyle{ a_{n+1}=a_n+a_{n-1}+a_{n-2} \leq 2^{n-1}+2^{n-2}+2^{n-3}
=2^n(\frac{1}{2}+\frac{1}{4}+\frac{1}{8})=\frac{7}{8} \cdot 2^n < 2^n}\)
a) Sprawdzamy dla \(\displaystyle{ n=3, a_3=1+1+1=3}\), nieparzysta
Załóżmy, że dla każdego n, \(\displaystyle{ a_n}\) jest nieparzyste.
Dla n+1 mamy \(\displaystyle{ a_{n+1}=a_n+a_{n-1}+a_{n-2}}\). Ponieważ, an+1 jest suma trzech liczb nieparzystych, tez musi byc nieparzyste.
b) dla n=1 \(\displaystyle{ a_1=1 \leq 2^0=1}\)
Załóżmy, że dla każdego n, \(\displaystyle{ a_n \leq 2^{n-1}}\)
Dla n+1 mamy
\(\displaystyle{ a_{n+1}=a_n+a_{n-1}+a_{n-2} \leq 2^{n-1}+2^{n-2}+2^{n-3}
=2^n(\frac{1}{2}+\frac{1}{4}+\frac{1}{8})=\frac{7}{8} \cdot 2^n < 2^n}\)