liczby pierwsze nierówność

Podzielność. Reszty z dzielenia. Kongruencje. Systemy pozycyjne. Równania diofantyczne. Liczby pierwsze i względnie pierwsze. NWW i NWD.
micha?3141
Użytkownik
Użytkownik
Posty: 38
Rejestracja: 31 lip 2009, o 15:40
Płeć: Mężczyzna
Podziękował: 6 razy
Pomógł: 5 razy

liczby pierwsze nierówność

Post autor: micha?3141 »

\(\displaystyle{ p _{n}}\) to n-ta liczba pierwsza, gdzie n jest dodatnią liczbą naturalną.
Czy wiecie jak udowodnić taką nierówność :
\(\displaystyle{ p _{n} ^{n} \ge 1+n+ n^{2} + n^{3} +...+ n^{n}= \sum_{i=0}^{n} n^{i}}\)
Może znacie jakieś wzmocnienie tej nierówności ?
Brzytwa
Użytkownik
Użytkownik
Posty: 879
Rejestracja: 1 wrz 2007, o 13:33
Płeć: Mężczyzna
Lokalizacja: Kraków
Podziękował: 2 razy
Pomógł: 221 razy

liczby pierwsze nierówność

Post autor: Brzytwa »

\(\displaystyle{ 1+n+ n^{2} + n^{3} +...+ n^{n}=\frac{n^{n+1}-1}{n-1} \le \frac{n^{n+1}}{n-1} \le \frac{n^{n+1}}{\frac{n}{2}}=2n^{n}\le p^{n}}\)
micha?3141
Użytkownik
Użytkownik
Posty: 38
Rejestracja: 31 lip 2009, o 15:40
Płeć: Mężczyzna
Podziękował: 6 razy
Pomógł: 5 razy

liczby pierwsze nierówność

Post autor: micha?3141 »

Proszę o dowód , że \(\displaystyle{ 2 n^{n} \le p^{n}}\)
Nie jest to dla mnie oczywiste...
Awatar użytkownika
klaustrofob
Użytkownik
Użytkownik
Posty: 1984
Rejestracja: 11 lis 2007, o 07:29
Płeć: Mężczyzna
Lokalizacja: inowrocław
Podziękował: 1 raz
Pomógł: 607 razy

liczby pierwsze nierówność

Post autor: klaustrofob »

wystarczy zauważyć, że \(\displaystyle{ p_n\ge n+1}\) oraz \(\displaystyle{ (n+1)^n\ge 2n^n}\)
Brzytwa
Użytkownik
Użytkownik
Posty: 879
Rejestracja: 1 wrz 2007, o 13:33
Płeć: Mężczyzna
Lokalizacja: Kraków
Podziękował: 2 razy
Pomógł: 221 razy

liczby pierwsze nierówność

Post autor: Brzytwa »

michał3141 pisze:Proszę o dowód , że \(\displaystyle{ 2 n^{n} \le p^{n}}\)
Nie jest to dla mnie oczywiste...
W ostateczności:

\(\displaystyle{ 2 n^{n} \le (2n)^{n} \le p^{n}}\)

Dla \(\displaystyle{ p \ge 11}\), a dla pozostałych liczysz "ręcznie".
micha?3141
Użytkownik
Użytkownik
Posty: 38
Rejestracja: 31 lip 2009, o 15:40
Płeć: Mężczyzna
Podziękował: 6 razy
Pomógł: 5 razy

liczby pierwsze nierówność

Post autor: micha?3141 »

No dobra.
Sam wyprowadziłem wyjściową nierówność podczas 'zabawy' z liczbami pierwszymi, korzystając z pojęcia wariacji z powtórzeniami i sumy ciągu geometrycznego. Chciałem Was sprawdzić, ale widzę że dla Was była bardzo prosta :wink:
Miałem nadzieję że wymyśliłem coś fajnego, ale to było wyjątkowo oczywiste :oops:
Następnym razem zrobię taką, że jej nie udowodnicie :evil:
Czasami marzę o udowodnieniu HR lub HG :wink:
Marne mam szanse, no nie :?:
Brzytwa
Użytkownik
Użytkownik
Posty: 879
Rejestracja: 1 wrz 2007, o 13:33
Płeć: Mężczyzna
Lokalizacja: Kraków
Podziękował: 2 razy
Pomógł: 221 razy

liczby pierwsze nierówność

Post autor: Brzytwa »

michał3141 pisze:Czasami marzę o udowodnieniu HR lub HG
Marne mam szanse, no nie
Na dzień dzisiejszy są marne szanse, że ktokolwiek je kiedyś udowodni
micha?3141
Użytkownik
Użytkownik
Posty: 38
Rejestracja: 31 lip 2009, o 15:40
Płeć: Mężczyzna
Podziękował: 6 razy
Pomógł: 5 razy

liczby pierwsze nierówność

Post autor: micha?3141 »

Na dzień dzisiejszy są marne szanse, że ktokolwiek je kiedyś udowodni
Musiałby pojawić się ktoś o geniuszu Eulera,Gaussa i Ramanujana razem wziętych
Moim skromnym zdaniem dowód wymaga przełomu w myśleniu matematycznym. Nie wystarczy rozszerzanie obecnych teorii matematycznych. Tu trzeba wprowadzić coś nowego (jak Newton i Leibniz rachunek całkowy). Świetny Erdoes powiedział na temat Hipotezy Collatza, że matematyka nie jest jeszcze gotowa na takie problemy. Liczby pierwsze są zbyt fundamentalne w matematyce, aby nie odkryto ich najgłębszych tajemnic
Brzytwa
Użytkownik
Użytkownik
Posty: 879
Rejestracja: 1 wrz 2007, o 13:33
Płeć: Mężczyzna
Lokalizacja: Kraków
Podziękował: 2 razy
Pomógł: 221 razy

liczby pierwsze nierówność

Post autor: Brzytwa »

michał3141 pisze:Musiałby pojawić się ktoś o geniuszu Eulera,Gaussa i Ramanujana razem wziętych
O ile którąś z tych hipotez da się w ogóle rozstrzygnąć
micha?3141
Użytkownik
Użytkownik
Posty: 38
Rejestracja: 31 lip 2009, o 15:40
Płeć: Mężczyzna
Podziękował: 6 razy
Pomógł: 5 razy

liczby pierwsze nierówność

Post autor: micha?3141 »

O ile którąś z tych hipotez da się w ogóle rozstrzygnąć :)
Może ktoś chociaż udowodni, że te hipotezy są nierozstrzygalne.
Mam nadzieję, że tak się nie stanie, bo to 'zabiłoby' to co najlepsze w matematyce :cry:
ODPOWIEDZ