Równanie 4 zmiennych

Podzielność. Reszty z dzielenia. Kongruencje. Systemy pozycyjne. Równania diofantyczne. Liczby pierwsze i względnie pierwsze. NWW i NWD.
matemix
Użytkownik
Użytkownik
Posty: 465
Rejestracja: 10 cze 2008, o 19:38
Płeć: Mężczyzna
Lokalizacja: Wrocław
Podziękował: 12 razy
Pomógł: 1 raz

Równanie 4 zmiennych

Post autor: matemix »

a, b, n, k należą do liczb naturalnych. Czy równanie:

\(\displaystyle{ 4 \cdot ((3n+1) \cdot 1,5^{a}-1) = (3k+1) \cdot 1,5^{b}-1}\)

może być spełnione dla jakichkolwiek przypadków? A właściwie chodzi mi tylko o przypadki gdy obie strony równania są liczbami całkowitymi.
Adifek
Użytkownik
Użytkownik
Posty: 1567
Rejestracja: 15 gru 2008, o 16:38
Płeć: Mężczyzna
Lokalizacja: Ostrzeszów/Wrocław
Podziękował: 8 razy
Pomógł: 398 razy

Równanie 4 zmiennych

Post autor: Adifek »

a=b
k=4n+1

A żeby obie strony równania były całkowite, to a=b=0 i wtedy obie strony wychodzą 0 albo a=b i \(\displaystyle{ (3n+1)=4^{a-1}}\) i \(\displaystyle{ 3k+1=4^{a}}\) i k=4n+1
Awatar użytkownika
Inkwizytor
Użytkownik
Użytkownik
Posty: 4105
Rejestracja: 16 maja 2009, o 15:08
Płeć: Mężczyzna
Lokalizacja: Poznań
Podziękował: 1 raz
Pomógł: 428 razy

Równanie 4 zmiennych

Post autor: Inkwizytor »

matemix pisze:a, b, n, k należą do liczb naturalnych. Czy równanie:
\(\displaystyle{ 4 \cdot ((3n+1) \cdot 1,5^{a}-1) = (3k+1) \cdot 1,5^{b}-1}\)
może być spełnione dla jakichkolwiek przypadków? A właściwie chodzi mi tylko o przypadki gdy obie strony równania są liczbami całkowitymi.
@ Adifek: źle

Rozpatrzmy bardziej ogólnie niż Adifek gdy \(\displaystyle{ a=b}\) (dowolnie nie tylko =0)

\(\displaystyle{ 4 \cdot ((3n+1) \cdot 1,5^{a}-1) = (3k+1) \cdot 1,5^{a}-1}\)
Małe przekształcenie...
\(\displaystyle{ 4 \cdot (3n+1) \cdot 1,5^{a} - (3k+1) \cdot 1,5^{a} = 3}\)
\(\displaystyle{ 4 \cdot (3n+1) - (3k+1) = 3 \cdot 1,5^{-a}}\)
Czyli
\(\displaystyle{ 12n-3k+3 = 3 \cdot 1,5^{-a}}\)
Prawa strona jest funkcją wykładniczą więc jest zawsze dodatnia stąd lewa strona:
\(\displaystyle{ 12n-3k+3 > 0 \\
k < 4n+1}\)
-- 30 sty 2010, o 16:22 --
Adifek pisze:\(\displaystyle{ (3n+1)=4^{a-1}}\) i \(\displaystyle{ 3k+1=4^{a}}\) i k=4n+1
A mógłbyś zamieścić swoje obliczenia z przytoczeniem wzorów po zastosowaniu których pojawił się człon \(\displaystyle{ 4^a}\) oraz \(\displaystyle{ 4^{a-1}}\)
Adifek
Użytkownik
Użytkownik
Posty: 1567
Rejestracja: 15 gru 2008, o 16:38
Płeć: Mężczyzna
Lokalizacja: Ostrzeszów/Wrocław
Podziękował: 8 razy
Pomógł: 398 razy

Równanie 4 zmiennych

Post autor: Adifek »

O matko... przez nieuwagę zamiast
\(\displaystyle{ 4 \cdot (3n+1) \cdot 1,5^{a}-1 = (3k+1) \cdot 1,5^{b}-1}\)
to w zeszycie sobie liczyłem
\(\displaystyle{ 4 \cdot (3n+1) \cdot (1,5^{a}-1) = (3k+1) \cdot (1,5^{b}-1)}\)
Najzabawniejsze jest to, że z 2 razy sprawdzałem a i tak nie zauważyłem :/

Bardzo przepraszam za wprowadzenie w błąd. Dałem ciała.


PS mimo, że zrobiłem błąd, to pragnę zauważyć, że rozpatrzyłem także dowolne a=b
Widać nie tylko ja jestem nieuważny
Awatar użytkownika
Inkwizytor
Użytkownik
Użytkownik
Posty: 4105
Rejestracja: 16 maja 2009, o 15:08
Płeć: Mężczyzna
Lokalizacja: Poznań
Podziękował: 1 raz
Pomógł: 428 razy

Równanie 4 zmiennych

Post autor: Inkwizytor »

Adifek pisze: Bardzo przepraszam za wprowadzenie w błąd. Dałem ciała.
humanum errare est
Adifek pisze:O matko... przez nieuwagę zamiast
\(\displaystyle{ 4 \cdot (3n+1) \cdot 1,5^{a}-1 = (3k+1) \cdot 1,5^{b}-1}\)
to w zeszycie sobie liczyłem
\(\displaystyle{ 4 \cdot (3n+1) \cdot (1,5^{a}-1) = (3k+1) \cdot (1,5^{b}-1)}\)

PS mimo, że zrobiłem błąd, to pragnę zauważyć, że rozpatrzyłem także dowolne a=b
Widać nie tylko ja jestem nieuważny
Pragnę zauważyć iż nawet jeśli byłoby to tak:
\(\displaystyle{ 4 \cdot (3n+1) \cdot (1,5^{a}-1) = (3k+1) \cdot (1,5^{b}-1)}\)
to nie otrzymasz \(\displaystyle{ 4^a}\) oraz \(\displaystyle{ 4^{a-1}}\).
A po drugie dokonałeś edycji swojego wpisu.
Mój wpis dotyczył jeszcze sytuacji gdy wpisałeś tylko przypadek a=b=0
Adifek
Użytkownik
Użytkownik
Posty: 1567
Rejestracja: 15 gru 2008, o 16:38
Płeć: Mężczyzna
Lokalizacja: Ostrzeszów/Wrocław
Podziękował: 8 razy
Pomógł: 398 razy

Równanie 4 zmiennych

Post autor: Adifek »

Ech, no tak... W ogóle nie wiem gdzie miałem mózg jak to pisałem

Zauważ, że edycja była błyskawiczna, bo nie pojawiła się o niej adnotacja. Także akurat musiałeś się wstrzelić w moment jej trwania


Z resztą nie ważne. Grunt, że rozwiązałeś
Awatar użytkownika
Inkwizytor
Użytkownik
Użytkownik
Posty: 4105
Rejestracja: 16 maja 2009, o 15:08
Płeć: Mężczyzna
Lokalizacja: Poznań
Podziękował: 1 raz
Pomógł: 428 razy

Równanie 4 zmiennych

Post autor: Inkwizytor »

matemix pisze:a, b, n, k należą do liczb naturalnych. Czy równanie:

\(\displaystyle{ 4 \cdot ((3n+1) \cdot 1,5^{a}-1) = (3k+1) \cdot 1,5^{b}-1}\)

może być spełnione dla jakichkolwiek przypadków? A właściwie chodzi mi tylko o przypadki gdy obie strony równania są liczbami całkowitymi.
Można jeszcze wykazać że dla n=k otrzymamy warunek iż b>a (szacowanie grube).
matemix
Użytkownik
Użytkownik
Posty: 465
Rejestracja: 10 cze 2008, o 19:38
Płeć: Mężczyzna
Lokalizacja: Wrocław
Podziękował: 12 razy
Pomógł: 1 raz

Równanie 4 zmiennych

Post autor: matemix »

No dobrze. A co będzie gdy mamy taki oto szereg równań:

\(\displaystyle{ \frac {4 \cdot ((3n +1) \cdot 1,5^{a}-1) + 1}{1,5^{b}}-1 = 3k}\)

\(\displaystyle{ \frac {4 \cdot (((\frac {4 \cdot ((3n +1) \cdot 1,5^{a}-1) + 1}{1,5^{b}}-1) +1) \cdot 1,5^{c}-1) + 1}{1,5^{d}}-1 = 3s}\)

\(\displaystyle{ \frac {4 \cdot (((\frac {4 \cdot (((\frac {4 \cdot ((3n +1) \cdot 1,5^{a}-1) + 1}{1,5^{b}}-1) +1) \cdot 1,5^{c}-1) + 1}{1,5^{d}}-1) +1) \cdot 1,5^{e}-1) + 1}{1,5^{f}}-1 = 3p}\)

itd.

czyli taki:

\(\displaystyle{ \frac {4 \cdot ((3n +1) \cdot 1,5^{a}-1) + 1}{1,5^{b}}-1 = 3k}\)

\(\displaystyle{ \frac {4 \cdot ((3k +1) \cdot 1,5^{b}-1) + 1}{1,5^{c}}-1 = 3s}\)

\(\displaystyle{ \frac {4 \cdot ((3s +1) \cdot 1,5^{e}-1) + 1}{1,5^{f}}-1 = 3p}\)

itd.

Czy istnieją takie n, że dowolne równanie takiego nieskończonego szeregu będzie spełnione?
ODPOWIEDZ