Zadanie olimpijskie - udowodnić wartość iloczynu

abrakadabra · Post autor: **abrakadabra** » 9 sie 2006, o 01:46

Hej,

kto mógłby mi pomóc z pewnym zadaniem olimpijskim?

Liczby rzeczywiste \(\displaystyle{ x_{1}, x_{2}, ..., x_{n} (n q 3)}\) są parami różne i spełniają warunek: \(\displaystyle{ x_{1} + \frac{1}{x_{2}} = x_{2} + \frac{1}{x_{3}} = ... = x_{n} + \frac{1}{x_{1}}}\). Udowodnij, że \(\displaystyle{ |x_{1}x_{2}...x_{n}| = 1}\).

Jakby co, wziąłem je z "Kółka matematycznego dla olimpijczyków" H. Pawłowskiego. Zadanie nr 7 z dodatku.

Z góry dzięki za pomoc.

mol_ksiazkowy · Post autor: **mol_ksiazkowy** » 9 sie 2006, o 04:19

a czy \(\displaystyle{ x_j q 0}\), ? jeśli tak to spoko, bo wtedy jeśli:
\(\displaystyle{ x_1< x_2}\), to
\(\displaystyle{ x_2< x_3}\)...itd, co prowadzi do sprzeczności: \(\displaystyle{ x_1< x_2}\)

Arek · Post autor: **Arek** » 9 sie 2006, o 09:32

W treści zadania nie ma stwierdzenia, że liczby są nieujemne (sprawdziłem). Zresztą to zadanie było kiedyś na eliminacjach do konkursu w Toruniu i o ile pamiętam, istotnym było, że te liczby są rzeczywiste (w treści zadania), a nie dodatnie.

neworder · Post autor: **neworder** » 9 sie 2006, o 20:45

Sam wrzucałem to zadanie na tym forum jakieś 8-9 miesięcy temu i ktoś dał odpowiedź - poszukaj.

mol_ksiazkowy · Post autor: **mol_ksiazkowy** » 9 sie 2006, o 21:31

aha, spx, mnie sie wydaje ze szkic bedzie taki, ze ..jakos tam uzasadniamy fakt \(\displaystyle{ a_1 q 2}\), tj \(\displaystyle{ a_1 = 2cos(\alpha)}\) i wtedy jakoś indukcja \(\displaystyle{ a_k =\frac{sin(k+1)\alpha}{sin(k\alpha)}}\)i jak sie powymnaza to sie poskraca etc....taki szkic chyba ....