X do potęgi Y, dowód.
-
- Użytkownik
- Posty: 12
- Rejestracja: 29 wrz 2008, o 17:43
- Płeć: Mężczyzna
- Lokalizacja: Rzeszów
- Podziękował: 1 raz
X do potęgi Y, dowód.
Witam, natknąłem się na ciekawe zadanie z dowodem. Mam z nim duży problem.
Wiedząc, że x \(\displaystyle{ \in}\) NW i y \(\displaystyle{ \in}\) NW
udowodnij, że \(\displaystyle{ x ^{y}}\) \(\displaystyle{ \in}\) W
Mam nadzieję, że umieściłem w dobrym dziale.
Pozdrawiam
Wiedząc, że x \(\displaystyle{ \in}\) NW i y \(\displaystyle{ \in}\) NW
udowodnij, że \(\displaystyle{ x ^{y}}\) \(\displaystyle{ \in}\) W
Mam nadzieję, że umieściłem w dobrym dziale.
Pozdrawiam
- Nakahed90
- Użytkownik
- Posty: 9096
- Rejestracja: 11 paź 2008, o 22:29
- Płeć: Mężczyzna
- Lokalizacja: Łódź
- Pomógł: 1871 razy
X do potęgi Y, dowód.
Wystarczy skorzystać z prawa wyłączonego środka.
Weźmy \(\displaystyle{ x=y=\sqrt{2}\notin Q}\), wtedy jeśli \(\displaystyle{ \sqrt{2}^{\sqrt{2}}\in Q}\) to koniec dowodu, a jeśli \(\displaystyle{ \sqrt{2}^{\sqrt{2}} \notin Q}\) kładziemy \(\displaystyle{ x=\sqrt{2}^{\sqrt{2}}\notin Q}\) i \(\displaystyle{ y=\sqrt{2}\notin Q}\) Wtedy mamy \(\displaystyle{ x^{y}=(\sqrt{2}^{\sqrt{2}})^{\sqrt{2}}=2\in Q}\)
Weźmy \(\displaystyle{ x=y=\sqrt{2}\notin Q}\), wtedy jeśli \(\displaystyle{ \sqrt{2}^{\sqrt{2}}\in Q}\) to koniec dowodu, a jeśli \(\displaystyle{ \sqrt{2}^{\sqrt{2}} \notin Q}\) kładziemy \(\displaystyle{ x=\sqrt{2}^{\sqrt{2}}\notin Q}\) i \(\displaystyle{ y=\sqrt{2}\notin Q}\) Wtedy mamy \(\displaystyle{ x^{y}=(\sqrt{2}^{\sqrt{2}})^{\sqrt{2}}=2\in Q}\)
-
- Użytkownik
- Posty: 12
- Rejestracja: 29 wrz 2008, o 17:43
- Płeć: Mężczyzna
- Lokalizacja: Rzeszów
- Podziękował: 1 raz
X do potęgi Y, dowód.
Dzięki wielkie.
Istnieje jakaś metoda bardziej na poziomie licealnym, czy to jest jedyne wyjście?
Istnieje jakaś metoda bardziej na poziomie licealnym, czy to jest jedyne wyjście?
-
- Użytkownik
- Posty: 12
- Rejestracja: 29 wrz 2008, o 17:43
- Płeć: Mężczyzna
- Lokalizacja: Rzeszów
- Podziękował: 1 raz
X do potęgi Y, dowód.
W Twoim rozwiązaniu przyjąłeś z założenia, że x=y. Nie wiem, czy to jest odpowiednie.
Jeśli jest, to i tak warunek, że x=y to ciągle ciekawy wariant, wart rozpatrzenia.
Jeśli jest, to i tak warunek, że x=y to ciągle ciekawy wariant, wart rozpatrzenia.
- Nakahed90
- Użytkownik
- Posty: 9096
- Rejestracja: 11 paź 2008, o 22:29
- Płeć: Mężczyzna
- Lokalizacja: Łódź
- Pomógł: 1871 razy
X do potęgi Y, dowód.
Ty miałeś pokazać, że istnieją, więc wystarczy pokazać jedną taką możliwość i taka została wskazany, ale jak chcesz aby \(\displaystyle{ x\neq y}\), to wystarczy przyjąć \(\displaystyle{ x=\sqrt{3}}\) i \(\displaystyle{ y=\sqrt{2}}\), dla tej dwójki dowód przebiega analogicznie.
-
- Użytkownik
- Posty: 12
- Rejestracja: 29 wrz 2008, o 17:43
- Płeć: Mężczyzna
- Lokalizacja: Rzeszów
- Podziękował: 1 raz
X do potęgi Y, dowód.
Dla \(\displaystyle{ x=\sqrt{3}}\) i \(\displaystyle{ y=\sqrt{2}}\)
Weźmy \(\displaystyle{ y=\sqrt{2}\notin Q}\) i \(\displaystyle{ x=\sqrt{3}\notin Q}\), wtedy jeśli \(\displaystyle{ \sqrt{3}^{\sqrt{2}}\in Q}\) to koniec dowodu, a jeśli \(\displaystyle{ \sqrt{3}^{\sqrt{2}} \notin Q}\) kładziemy \(\displaystyle{ x=\sqrt{3}^{\sqrt{2}}\notin Q}\) i \(\displaystyle{ y=\sqrt{2}\notin Q}\) Wtedy mamy \(\displaystyle{ x^{y}=(\sqrt{3}^{\sqrt{2}})^{\sqrt{2}}=3\in Q}\)
Dobrze kombinuję?
Weźmy \(\displaystyle{ y=\sqrt{2}\notin Q}\) i \(\displaystyle{ x=\sqrt{3}\notin Q}\), wtedy jeśli \(\displaystyle{ \sqrt{3}^{\sqrt{2}}\in Q}\) to koniec dowodu, a jeśli \(\displaystyle{ \sqrt{3}^{\sqrt{2}} \notin Q}\) kładziemy \(\displaystyle{ x=\sqrt{3}^{\sqrt{2}}\notin Q}\) i \(\displaystyle{ y=\sqrt{2}\notin Q}\) Wtedy mamy \(\displaystyle{ x^{y}=(\sqrt{3}^{\sqrt{2}})^{\sqrt{2}}=3\in Q}\)
Dobrze kombinuję?