X do potęgi Y, dowód.

[Thazrill]

Witam, natknąłem się na ciekawe zadanie z dowodem. Mam z nim duży problem.

Wiedząc, że x \(\displaystyle{ \in}\) NW i y \(\displaystyle{ \in}\) NW
udowodnij, że \(\displaystyle{ x ^{y}}\) \(\displaystyle{ \in}\) W

Mam nadzieję, że umieściłem w dobrym dziale.
Pozdrawiam

[Nakahed90]

To ma zachodzić dla wszystkich, czy pokazać, że istnieją?

[Thazrill]

Pokazać, że istnieją. Zapomniałem napisać wcześniej.

[Nakahed90]

Wystarczy skorzystać z prawa wyłączonego środka.

Weźmy \(\displaystyle{ x=y=\sqrt{2}\notin Q}\), wtedy jeśli \(\displaystyle{ \sqrt{2}^{\sqrt{2}}\in Q}\) to koniec dowodu, a jeśli \(\displaystyle{ \sqrt{2}^{\sqrt{2}} \notin Q}\) kładziemy \(\displaystyle{ x=\sqrt{2}^{\sqrt{2}}\notin Q}\) i \(\displaystyle{ y=\sqrt{2}\notin Q}\) Wtedy mamy \(\displaystyle{ x^{y}=(\sqrt{2}^{\sqrt{2}})^{\sqrt{2}}=2\in Q}\)

[Thazrill]

Dzięki wielkie.

Istnieje jakaś metoda bardziej na poziomie licealnym, czy to jest jedyne wyjście?

[smigol]

a co tutaj widzisz na poziomie nielicealnym?

[Thazrill]

A co w przypadku, gdy x\(\displaystyle{ \neq}\)y?

[Nakahed90]

A po co Ci rozpatrywanie takiego warunku?

[Thazrill]

W Twoim rozwiązaniu przyjąłeś z założenia, że x=y. Nie wiem, czy to jest odpowiednie.
Jeśli jest, to i tak warunek, że x=y to ciągle ciekawy wariant, wart rozpatrzenia.

[Nakahed90]

Ty miałeś pokazać, że istnieją, więc wystarczy pokazać jedną taką możliwość i taka została wskazany, ale jak chcesz aby \(\displaystyle{ x\neq y}\), to wystarczy przyjąć \(\displaystyle{ x=\sqrt{3}}\) i \(\displaystyle{ y=\sqrt{2}}\), dla tej dwójki dowód przebiega analogicznie.

[Thazrill]

Dla \(\displaystyle{ x=\sqrt{3}}\) i \(\displaystyle{ y=\sqrt{2}}\)

Weźmy \(\displaystyle{ y=\sqrt{2}\notin Q}\) i \(\displaystyle{ x=\sqrt{3}\notin Q}\), wtedy jeśli \(\displaystyle{ \sqrt{3}^{\sqrt{2}}\in Q}\) to koniec dowodu, a jeśli \(\displaystyle{ \sqrt{3}^{\sqrt{2}} \notin Q}\) kładziemy \(\displaystyle{ x=\sqrt{3}^{\sqrt{2}}\notin Q}\) i \(\displaystyle{ y=\sqrt{2}\notin Q}\) Wtedy mamy \(\displaystyle{ x^{y}=(\sqrt{3}^{\sqrt{2}})^{\sqrt{2}}=3\in Q}\)

Dobrze kombinuję?

[Nakahed90]

Tak.