Równanie w naturalnych part 2.

[Wendigo]

Mam jeszcze kilka pytań do innego zadania.
Znaleźć wszystkie naturalne rozwiązania równania:

\(\displaystyle{ x^2-2y^2=1}\)
No i teraz genialna tożsamość:
\(\displaystyle{ (3x+4y)^2-2(2x+3y)^2=s^2-2y^2}\).
I tu mamy nieskończenie wiele rozwiązań zaczynając od pary 3,2.

Ale jak dojść do tej tożsamości nie znając jej?
To znaczy dojść od prawej do lewej.


I dalej autor pokazuje, że innych rozwiązań nie ma i wykorzystuje po raz kolejny genialne przekształcenie, tylko teraz inne:
\(\displaystyle{ (3x-4y)^2-2(3y-2x)^2=x^2-2y^2}\)

No i do tej pory wszystko rozumiem i dalej niby też (najlepiej będzie jak przepiszę dalszą część rozwiązania):
Udowodnimy teraz, że innych rozwiązań dane równanie nie posiada.
Niech x,y jednym z jego rozwiązań. W tym przypadku 3x-4y, 3y-2x też jest rozwiązaniem równania, bowiem \(\displaystyle{ (3x-4y)^2-2(3y-2x)^2=x^2-2y^2}\)
przy czym
\(\displaystyle{ x^{(1)=3x-4y<x}\) i tutaj za bardzo nie wiem skąd ta nierówność, znaczy intuicyjnie jest raczej jasne bo z wyjściowej równości \(\displaystyle{ x^2=1+2y^2}\) gdyby x było większe od 2y, to z uwagi na to, że poruszamy się w naturalnych x musiałoby być co najmniej równe 2y+1 i wtedy L>P?
\(\displaystyle{ y^{(1)}=3y-2x<y}\)

Warunek: \(\displaystyle{ 9x^2-18y^2=9>-2y^2}\) pociąga za sobą nierówność \(\displaystyle{ 3x>4y}\).
Dla \(\displaystyle{ y>2}\) z warunku \(\displaystyle{ 4x^2-8y^2=4<y^2}\) wynika nierówność \(\displaystyle{ 3y>2x}\). Zatem dla y>2 z rozwiązania x,y otrzymujemy rozwiązanie \(\displaystyle{ x^{(1)}<x}\), \(\displaystyle{ y^{(1)}<y}\).
Ponieważ ten proces nie może się ciągnąć w nieskończoność to kiedyś otrzymamy rozwiązanie \(\displaystyle{ x^{(n)}}\), \(\displaystyle{ y^{(n)}}\) gdzie \(\displaystyle{ y^{(n)} \le 2}\). Ponieważ \(\displaystyle{ y^{(n)}}\) nie może się równać 1, to \(\displaystyle{ y^{(n)}=2}\) a więc \(\displaystyle{ x^{(n)}=3}\). Oznacza to, że liczby x i y należą do skonstruowanego już wcześniej ciągu.

Podsumowując, proszę o wyjaśnienie:
1. Jak wpaść na to genialne przekształcenie?
2. Czy z tą nierównością mam rację?
3. Autor rozwiązania pokazał, że istnieje nieskończenie wiele rozwiązań takiej, a takiej postaci, a później skorzystał z innego przekształcenia wykazując, że innych rozwiązań to równanie nie posiada.
Ale skąd wiemy, że nie znajdziemy jakiegoś innego przekształcenia tego typu i znów dostaniemy pewne rozwiązania?

[patry93]

Przepraszam, że się wtrącę nie wnosząc nic do tematu - kim jest ów autor oraz z jakiej książki to zaczerpnąłeś?