Równanie w naturalnych.

[Wendigo]

pokazać, że równanie nie ma rozwiązań w liczbach naturalnych\(\displaystyle{ x^4+y^4=z^4}\)

Rozwiązanie autora:
wzmacniamy tezę pokazując, że
\(\displaystyle{ x^4+y^4=z^2}\)
nie ma rozwiązań w liczbach naturalnych.

Ale zacinam się w tym momencie:
"jest oczywiste, że liczby x,y,z są względnie pierwsze, oprócz tego łatwo zrozumieć, że jedna z liczb x,y jest parzysta, a druga nieparzysta".

Dla mniej jest to nieoczywiste. Mógłby mi ktoś wyjaśnić?
Próbowałem w ten sposób:
Niech NWD(x,y,z)=d, d>1
wtedy
\(\displaystyle{ x=dx_1}\)
\(\displaystyle{ y=dy_1}\)
\(\displaystyle{ z=dz_1}\)
i wstawiając do równania:
\(\displaystyle{ d^2x_1^4+d^2y_1^4=z_1^2}\)
no i nie wiem co dalej. i Dlaczego jedna z liczb x,y jest parzysta zaś druga nieparzysta?

[kluczyk]

Jeśli x,y byłyby nieparzyste to lewa strona byłaby podzielna tylko przez 2, a więc i prawa tylko przez 2, co jest niemożliwe. Można wziąć oczywiście, ze wszystkie te liczby są parzyste,ale wtedy metodą nieskończonego schodzenia dojdziemy właśnie do tego, że uzyskamy liczby względnie pierwsze, z których x,y są innej parzystości.

[Wendigo]

No tak. Początkowo też myślałem w tym kierunku ale zrezygnowałem, sam nie wiem czemu.

Tak czy inaczej dzięki

[premgr]

Czy nie wystarczy po prostu powołać się na Twierdzenie Fermata?

[smigol]

A potrafisz udowodnić wielkie twierdzenie Fermata? Jak tak to droga wolna.