pokazać, że równanie nie ma rozwiązań w liczbach naturalnych\(\displaystyle{ x^4+y^4=z^4}\)
Rozwiązanie autora:
wzmacniamy tezę pokazując, że
\(\displaystyle{ x^4+y^4=z^2}\)
nie ma rozwiązań w liczbach naturalnych.
Ale zacinam się w tym momencie:
"jest oczywiste, że liczby x,y,z są względnie pierwsze, oprócz tego łatwo zrozumieć, że jedna z liczb x,y jest parzysta, a druga nieparzysta".
Dla mniej jest to nieoczywiste. Mógłby mi ktoś wyjaśnić?
Próbowałem w ten sposób:
Niech NWD(x,y,z)=d, d>1
wtedy
\(\displaystyle{ x=dx_1}\)
\(\displaystyle{ y=dy_1}\)
\(\displaystyle{ z=dz_1}\)
i wstawiając do równania:
\(\displaystyle{ d^2x_1^4+d^2y_1^4=z_1^2}\)
no i nie wiem co dalej. i Dlaczego jedna z liczb x,y jest parzysta zaś druga nieparzysta?
Równanie w naturalnych.
- kluczyk
- Użytkownik
- Posty: 441
- Rejestracja: 20 paź 2006, o 22:44
- Płeć: Mężczyzna
- Lokalizacja: Małopolska
- Podziękował: 77 razy
- Pomógł: 12 razy
Równanie w naturalnych.
Jeśli x,y byłyby nieparzyste to lewa strona byłaby podzielna tylko przez 2, a więc i prawa tylko przez 2, co jest niemożliwe. Można wziąć oczywiście, ze wszystkie te liczby są parzyste,ale wtedy metodą nieskończonego schodzenia dojdziemy właśnie do tego, że uzyskamy liczby względnie pierwsze, z których x,y są innej parzystości.
-
- Użytkownik
- Posty: 14
- Rejestracja: 15 sty 2010, o 15:53
- Płeć: Mężczyzna
- Lokalizacja: Warszawa
- Podziękował: 2 razy
Równanie w naturalnych.
No tak. Początkowo też myślałem w tym kierunku ale zrezygnowałem, sam nie wiem czemu.
Tak czy inaczej dzięki
Tak czy inaczej dzięki